八年级上数学-全等三角形典型例题(一).docxVIP

整理文档 整理文档 全等三角形典型例题： 例1 :把两个含有45 °角的直角三角板如图 1放置，点D在BC上，连结BE , AD , AD的延长线交BE于点 F.求证： AF丄BE. EC A EC A 练习1:如图，在△ ABC中，/ BAC=90 ° , AB=AC , AE是过点 A的直线，BD丄AE , CE丄AE , 如果CE=3 , BD=7，请你求出 DE的长度。 C C 例2 例2 : △ DAC, △ EBC均是等边三角形, AE,BD分别与CD,CE交于点M,N, 求证：(1 ) AE=BD ; 求证：(1 ) AE=BD ; (2)CM=CN ; (3) △ CMN为等边三角形; C B 例3 : （10分）已知，△ ABC中，/ BAC = 90 ° , AB = AC,过A任作一直线I,作BD丄I于D, CE丄I于E, 观察三条线段 BD , CE , DE之间的数量关系. ⑴如图1，当I经过BC中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）. ⑵如图2，当I不与线段BC相交时，BD , CE , DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论.（3 分） ⑶如图3，当I与线段BC相交，交点靠近 B点时，BD , CE , DE三者的数量关系为 . 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近 C点时，BD , CE , DE三者的数量关系为 . （1 分） 匸 II 匸 I I 练习1 :以直角三角形 ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ ABE和等边△ BCF，连结 EF、EC。 练习2 : 如图（1） A、E、F、C在同一直线上， AE=CF，过E、F分别作 DE丄AC , BF丄AC若AB=CD , G是EF的 中点吗？请证明你的结论。 若将 "ABC的边EC经AC方向移动变为图（2 ）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？  例四：如图 1，已知，AC 丄 CE , AC=CE , / ABC= / CDE=90 ° , 问 BD=AB+ED 吗? ［分析］: （1 ）凡是题中的垂直往往意味着会有一组 90。角，得到一组等量关系； （2 ）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系; （3 ）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起： 如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到 AC=BD 。 解答过程：得到厶 ABC也CDE之后，可得到 BC=DE , AB=CD ??? BC+CD=DE+AB （等式性质） 即: BD=AB+DE ［变形1］:如图7 ,如果△ ABC ◎△ CDE，请说明AC与CE的关系。 ［注意］:两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类） 图5图6图7位置关系（垂直，平行之类） 图5 图6 图7 ［变形2］:如图, E是正方形 ABCD的边DC上的一点，过点 A作FA丄AE交CB的延长线于点 F , 求证：DE=BF ［分析］:注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。 ［变形3］:如图8，在△ ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC , AE是过点A的直线, BD 丄AE , CE 丄AE , 如果CE=3 , BD=7，请你求出 DE的长度。 ［分析］：说明相等的边所在的三角形全等 ， 题中“ AB=AC ”，发现：AB 在 Rt △ ABD 中，AC 在 Rt △ CAE 中, 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt △全等(如图9) 于是：已经存在了两组等量关系： AB=AC，直角=直角， 再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在 Rt△ ABD中，/ 1+ / ABD=90 ° (直角三角形的两个锐角互余) 又??? / BAC=90。（已知）, 即/ 1+ / CAE=90 ° ?? / ABD= / CAE （等角的余角相等） 故在△ ABD与厶CAE中， / BDA= / AEC=90 ° （垂直定义） J/ABD= / CAE （已求） -AB=AC （已知） ??? △ ABD ◎△ CAE （AAS ） ??? AE=BD=7 , AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） ［变形4］:在厶 ABC中，/ACB= 900, AC=BC，直线 MN 经过点C，且AD丄 ［变形4］:在厶 ABC中，/ ACB= 900, AC=BC，直线 MN 经过点 C，且AD丄MN BE丄MN于E。 (1 )当直线MN绕点C旋转到图 9的位置时，△ ADC^A CEB，且DE=AD+BE 。你能说出其中的道理吗? (2)当直线MN绕点C旋转到图 10的位置时, DE =AD-BE 。说