专题13 周长最值类问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题13 周长最值类问题 1．（2021?苏州）如图，二次函数是实数，且的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点．已知点位于第一象限，且在对称轴上，，点在轴的正半轴上，，连接并延长交轴于点，连接． （1）求、、三点的坐标（用数字或含的式子表示）； （2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求的值． 【答案】（1）点、的坐标分别为、，点的坐标为，（2） 【详解】：（1）令，解得或， 故点、的坐标分别为、， 则点的横坐标为，即点的坐标为，； （2）由点的坐标知，， 故， ，， ， ，即， 点是中点，则为三角形的中位线， 则， 在中，， 点是点关于函数对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点为所求点， 理由：的周长为最小， 即， 则，解得， ， 故． 2．（2021?嘉峪关）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，连接，求的面积； （3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 【答案】（1）（2）（3）①；②的周长的最小值为 【详解】：（1）抛物线过，两点， , 解得, ． （2）,, ,, 轴，轴， 在和中，, 即, , , 当时，, ,即, , ． ①如图1中，过点作于, 四边形是矩形， ,, , , , ,, , , ,, 直线的解析式为, 设,, 由得到，, , ,, , , , , ． ②如图2中， , , 的周长, 要使得的周长最小，只要的值最小， , 当点在上时，的值最小， , 的周长的最小值为． 3．（2021?岳阳）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线经过点，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）当时，矩形周长最小值为（3）存在，或， 【详解】：（1）设抛物线的表达式为， 即， 即，解得， 故抛物线的表达式为； （2）将点的坐标代入直线的表达式得：，解得， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意得，点、关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线， 故点的横坐标为，则， 设矩形周长为，则， ，故有最小值， 当时，矩形周长最小值为； （3）当时，，即点的坐标为，， 由抛物线的表达式知，点的坐标为，， 过点作于点， 则， 同理可得，， 则， ， 故， 在中，， 故和重合， 故点和点重合， 即点的坐标为， 当点在直线的上方时，，，， ， ， 则点关于的对称点， 直线的解析式为， 由，解得或， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 4．（2021?遂宁）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式和的值； （2）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； （3）直线上有、两点在的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 【答案】（1），（2）存在，或（3） 【详解】：（1）抛物线的对称轴，与轴的交点为，， ， 可以假设抛物线的解析式为， 把代入得到，， 抛物线的解析式为． 直线经过点， ， ． （2）如图1中， 直线的解析式为，直线交轴于，与抛物线交于点， ， 由，解得即点，或， ， 过点作轴于． ，， ， ． 过点作交轴于， 同法可证，△， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． （3），为定点， 线段的长为定值， 当的和最小时，四边形的周长最小， 如图2中，画出直线，将点向左平移2个单位得到， 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，过点作交直线于点， 由作图可知，，， ，，三点共线， ，此时的值最小， 点为直线与的交点， ， ， ， ， 如图，延长交线段于， 直线， ， 在中，， 在△中，， 四边形的周长的最小值． 5．（2020?朝阳）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为． （1）求抛物线表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点在轴上方，点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的最