北京市2008年中考数学试题及答案(WORD版).doc

22．（本小题满分4分） AGCFEBD图2已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”． A G C F E B D 图2 A A G C F E B D 图1 （1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积； （2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． A A C B 备用图 A C B 备用图 解：（1）重叠三角形的面积为 ； （2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 ． 七、解答题（本题满分7分） 23．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，． （1）证明： （2）解： 1 1 2 3 4 4 3 2 1 x y O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 （3）解： 八、解答题（本题满分7分） 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标； 1Oyx2344 1 O y x 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -2 -1 解：（1） （2） （3） 九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． DC D C G P A B E F 图2 D A B E F C P G 图1 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． 解：（1）线段与的位置关系是 ； ． （2） 22．解：（1）重叠三角形的面积为． 1分 （2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为； 2分 的取值范围为． 4分 七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明：是关于的一元二次方程， ． 当时，，即． 方程有两个不相等的实数根． 2分 （2）解：由求根公式，得． 或． 3分 ， ． ， ，． 4分 ． 1234 1 2 3 4 4 3 2 1 x y O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出 与的图象． 6分 由图象可得，当时，． 7分 八、解答题（本题满分7分） 24．解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点， ． 设直线的解析式为． 在直线上， ． 解得． 直线的解析式为． 1分 抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为． 2分 1Oyx 1 O y x 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -2 -1 P E B D A C F 图1 可得． ，，，． 可得是等腰直角三角形． ，． 如图1，设抛物线对称轴与轴交于点， ． 过点作于点． ． 可得，． 在与中，，， ． ，． 解得． 点在抛物线的对称轴上， 点的坐标为或． 5分 （3）解法一：如图2，作点关于轴的对称点，则． 连结， 1Oyx23 1 O y x 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -1 B D A C F 图2 由勾股定理可得，． 又， ． 是等腰直角三角形，， ． ． ． 1Oyx2344 1 O y x 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -2 -1 B D A C F 图3 解法二：如图3，连结． 同解法一可得，． 在中，，， ． 在和中， ，，． ． ． ． ， ． 即与两角和的度数为． 7分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）线段与的位置关系是； ． 2分 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长交于点，连结． 是线段的中点， ． DCGP