2022届冲刺数学复习必备分项解析13.数列与数学归纳法（解答题）解析版.doc

2022届新高考复习必备数学试卷分项解析 专题13.数列与数学归纳法（解答题） 34．（2021·浙江）已知数列，中，，，，，. （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根据递推关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （Ⅱ）利用分组求和的方法，结合错位相减法进行求解即可. 【详解】 （Ⅰ），， ，且 所以是等比数列. ，，即 又，， 又，故，. （Ⅱ）因为， 记 则 两式相减，得 . 设， 所以. 35．（2021·浙江高三其他模拟）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列的通项公式，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）证明：，． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）由等差中项的性质可求得，进而得到，进一步求得公比，由此即可得解； （Ⅱ）化简数列，由此即可得证． 【详解】 （Ⅰ）由是，的等差中项得， 所以， 解得， 由，得，解得或， 因为，所以， 所以； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，， ∴ ， 36．（2021·浙江高三月考）已知数列，满足：，，记数列的前项和为，． （Ⅰ）求与； （Ⅱ）求证：． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）由已知凑配出数列是常数列，从而易得其通项公式，求出后可得，利用相除的求得； （Ⅱ）求出，用错位相减法求得和，需两次运用错位相减法求和，再结合不等式的性质可证明． 【详解】 （Ⅰ）解：由， 得， 所以， 又，所以， 当时，， 上式对也成立，所以． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， 所以， ， 错位相减得 （*） 记，则， 错位相减得， 所以代入（*）得 ， 所以，即． 37．（2021·浙江金华市·高三月考）已知数列的前n项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为． （1）求与； （2）证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据，可得，； （2）当时，得成等比数列，求得， 当时，成等差数列，求得， 由，分、可得答案. 【详解】 （1）因为，所以当时，，当时，， 当时，， ， 所以 ， ． （2）当时，，，， ∴，成等比数列， 则， 当时，，，， ∴，成等差数列， 则， ∵，∴当时，， 又∵， ∴当时，， 即， 综上可得，． 38．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足， （1）若求数列的通项公式； （2）若，记，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据已知条件，可得，利用累加法求的通项公式，注意验证是否也符合通项公式. （2）由题设，可得，讨论为奇偶性求的通项公式，进而求，应用裂项相消法求，即可证结论. 【详解】 （1）由题设知：且，， ∴，即， ∴，，…，，将它们累加可得， ∴，而也成立，即数列的通项公式. （2）由题设知：，则， ∴，故，又，则， ∴当为奇数时，；当为偶数时，； 综上，知：，则， ∴当为奇数时，有； 当为偶数时，有； ∴当为奇数时，，则恒成立； 当为偶数时，，则， 综上，，得证. 39．（2021·浙江绍兴·高三二模）已知等差数列{an}的公差不为零，a4=1，且a4，a5，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn﹣4(n∈N*). （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足，cn+1=cn﹣(n∈N*)，求使得成立的所有n值. 【答案】（1）an=n﹣3，bn=2n+1；（2）n的值为3，4. 【分析】 （1）根据已知条件求得，由此求得；先求得，然后利用求得. （2）利用累加法，结合错位相减求和法求得，由此解不等式，求得的所有可能取值. 【详解】 （1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得=a4a7， 即(1+d)2=1+3d，整理得d2=d，解得d=1， 所以an=a4+(n﹣4)d=n﹣3， 因为b1=S1=2b1﹣4，所以b1=4， 当n≥2时，由bn=Sn﹣Sn﹣1，得bn=2bn﹣2bn﹣1，即bn=2bn﹣1， 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn=2n+1. （2）由cn+1=cn﹣，得cn+1﹣cn=﹣， 所以cn=(cn﹣cn﹣1)+(cn﹣1﹣cn﹣2)+…+(c2﹣c1)+c1=﹣﹣(+……+)， 设Tn=+……+，则Tn=+……+， 两式相减得 Tn=++……+﹣=﹣﹣=﹣﹣， 所以Tn=﹣﹣，所以cn=﹣﹣Tn=， 因为，所以(n﹣2)(24﹣n﹣1) 0， 当n=1时，不满足题意； 当n=2时，不满足题意； 当n≥3时，24﹣n﹣1≥0，解得3≤n≤4， 所以满足题意的所有n的值为3，4. 40．（2021·浙江临海市回浦中学高三其他模拟）数列满足，，其前n项和为，数列的前