2021年上海市高中名校自主招生初升高衔接数学讲义8 几何计算.docVIP

第八讲 几何计算 知识要点 在自招试卷中，有不少的几何计算问题，一般需要用到全等，相似，勾股定理等课本知识，同时也会考查到面积法，弧长等平时较少操练的章节. 本讲我们讲围绕几何计算展开学习. 例题精讲 如图8-1，，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且.将沿PQ折叠，点O落在平面内点C处. （1）①当时， ； ②当时，求OQ的长. （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长. 我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”. （1）等边三角形“内似线”的条数为 ； （2）如图8-6，中，，点D在AC上，且，求证：BD是的“内似线”； （3）如图8-7，在中，，，，点E、F分别在边AC、BC上，且EF是的“内似线”，求EF的长. 将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种形状？并将所有形状都列出来. 如图8-11，中，，BC边上有100个不同的点，，，…，，记，求. 已知的两条角平分线BD、CE交于点I，，.则的度数为 . 如图8-15，在四边形ABCD中，已知是等边三角形，，，.求边CD的长. 如图8-17，在四边形ABCD中，，，，设直线AD与BC的交点为点E，则的大小为 . 如图8-19，三条直线l、m、n互相平行，且l、m间的距离为2，m、n间的距离为1，若正的三个顶点分别在l、m、n上，则正的边长是 . 如图8-21，，则 . 如图8-22，在中，，，四边形CDEF、四边形KLMN是的两个内接正方形.已知，.求的三边长. 习题巩固 沿一个卡纸立方体的边缘按照图1中所示的虚线切开，然后展开，平放在桌面上的图形是图2中的（ ）. 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，、都是锐角，已知，，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积. 如图，设P是ABCD内一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为点E、F、G、H.已知，，，，，，且，则四边形的周长为多少？ 在中，，，延长BC到D使.求. 已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边AB、AC的距离分别是1、2.则点P到边BC的距离是多少？ 在中，，，分别以AB、AC为边向外部作正、，连结DE分别交AC、AB于点F、G.则的值为多少？ 在中，，，.则外接圆的半径是多少？ 设的三边分别为a、b、c，且.若，求的值. 如图，的网格中有25个格点，作出以这25个格点中的三个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形多少个？ 已知A、B是半径为2的上的两定点，，P是上一动点.当点P在上移动一周时，的垂心移动的路程为多少？（增加两个特殊点，使的垂心H移动的轨迹是封闭图形）. 如图，已知，且.点D、E分别是AC、AB上的动点，BD与CE相交于点P，使.求的最大值. 自招链接 如图，在任意五边形ABCDE中，点P、Q、R、S分别是AB、CD、BC、DE的中点，点M、N分别是PQ、RS的中点，且.求MN. 已知中，，于点D，若，.求的面积. 参考答案 （1）①当时，，由折叠的性质得：，，所以，所以，所以四边形OPCQ是平行四边形，所以四边形OPCQ是菱形，所以. 故答案为：. ②当时，分两种情况： （ⅰ）如图8-2所示，设，因为，所以是等腰直角三角形，所以，所以. 由折叠的性质得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即； （ⅱ）如图8-3所示.同（ⅰ）得：； 综上所述：当时，QQ的长为，或. （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个； ①点C在的内部时，四边形OPCQ是菱形，； ②当点C在的一边上时，是等腰直角三角形，或； ③当点C在的外部时，分两种情况： （ⅰ）如图8-4所示，，则，由折叠的性质得：. 设，则，在中，由三角形内角和定理得：，解得：，所以，作于点N，设，因为，则，，. 因为，所以，解得：，所以. （ⅱ）如图8-5所示，，作于点N，同①得：. 综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为或或，或或. （1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下： 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如8-8所示：则，，，所以MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”.故答案为：3. （2）因为，，所以，，所以. 又因为，所以，所以BD平分，即BD过的内心，所以BD是的“内似线”. （3）设D是的内心，连结CD，则CD平分，因为EF是的“内似线”，所以与相似. 分两种情况：①当时，，因为，，，所以. 作于点N，如图8-9所示.则，DN是的内切圆半径，所以. 因为