函数的单调性与凹凸性.pptxVIP

《高等数学》全程教学视频课;第34讲函数的单调性与凹凸性——问题的引入;100;200 ； f (x) = 3 x4 - 4x3 -12xx + 5;200； f (x) = 3x4 - 4x3 -12xx + 5;函数单调性的判定;?函数单调性的判定 定理1设函数/（X）在［。,用上连续，（。，幻内可导. （1） 如果在（〃M）内E ） ＞（）,那么/（?）在 /，］上严格单调增加； （2） 如果在（“M）内/EX 0 ,那么/3）在切上严格单调减少. 注意：定理1对于开区间也成立. 设函数./（》）在（〃，/”内可导. （1*）如果在（〃M）内/（.?）〉（）,那么E）在（，）内严格单调增加; （2* ）如果在（〃./，）内/3）＜0,那么/（.）在（〃./，）内严格单调减少. ） 第34讲函数的单调性与凹凸性——函数单调性的判定;注（1）如果在（％幻内广（X）0,那么/（对在（。，幻内单调增加; 如果在（，3）内./MO,那么C在（/?内单调减少.;例1讨论函数f(x) = x-sinx在(-8, 8)内的单调性.;例2讨论函数f(x) = ex-x-l在(-8, 8)内的单调性.;tt函数极值的判定;定理2 (极值第一充分条件)设函数/(X)在X。处连续，在x。的 某个去心3邻域内可导. (1) 如果当 X。— $ X 工。 时，/(.?) ()；当 时, /(.\) ()，那么/(??)在孔处取极大值. (2) 如果当 X。— 5 X X。 时，/(.?)()，?当 时, fix)〉0 ,那么.7 E)在L处取极小值. (3) 如果,厂(.、,)在-汉.\、)和+内符号相同，则函 数/(X)在X。处不取极值.;定理2的直观含义:;例3求函数f(x)=故x - l)(x - 2)2的单调区间和极值.;例3求函数f(x)=故x - l)(x - 2)2的单调区间和极值.;例3求函数/\x） = MxT）（x-2尸的单调区间和极值.;■求函数单调区间与极值的一般步骤 (1)求函数/E)的定义域；;定理3(极值第二充分条件)设函数/(X)在X。处具有二阶导数， 且性0)= 0,那么 (1) 当f( X。) 0时 函数f (x)在X。处取得极大值. (2) 当f”(X。) 0时 函数f (x)在X。处取得极小值. _____ (3) 当f ”(X。) = 0时 无法确定函数f (x)在xo处是否取得极值. 例如：f (X) = X3 ,函数f (X)在X = 0处不取极值. f (X) = X4 ,函数f (x)在X = 0处取得极小值. Bf‘(0) = f (。)=。 第34讲函数的单调性与凹凸性——函数单调性的判定;例4求函数/(x) = x3 - 6x2 + 5的极值.;?凸函数;凸曲线的几何特征分析;函数f (x)在［x1, x2］上的曲线弧位于弦AB的下方可表示为;定义1设函数f (x)在区间/上有定义，如果对于任意Xi，x2 e I, 及任意实数X e [0, 1],恒有 f 人叫+(1 —人)工2 匕儿/(工1 ) + (1 — f (-^2 则称f (X)为区间I上的向下凸函数(简称凸函数). 如果对于任意x1, x2e I, x# x2,及任意实数X e (0, 1),恒有 f _^xi + (1 -^)x2_ Zf{xx) + (1 -2)/(x2), 贝嚇f (X)为区间I上的严格向下凸函数(简称严格凸函数). 蜀 ________________________________ .〔丿第34讲函数的单调性与凹凸性——函数的凹凸性及其判定;定义1*设函数/（X）在区间/上有定义，如果对于任意X1，X e I, 及任意实数人e [0, 1],恒有 f 4X[+（1 —人）工2 人/（*1 ） + （1 — ）/（工2）, 则称f （x）为区间I上的向上凸函数. 如果对于任意x1, x2e I, x2,及任意实数人e （0, 1）,恒有 f 独 +（1-人）工2 ^/（xi） + 0 （X2）5;注：直观上，我们将向下凸函数的图形称为凹曲线（或者凹 弧），而向上凸函数的图形称为凸曲线（或者凸弧）.;■凸曲线与其切线的位置关系;定理4设函数/(x)在(a, b)内可导，则 (1)函数，(x)为(a, b)内的向下凸函数的充分必要条件是：对 任意x1, x2G (a, b)都有 f(X2) f (X1) + —(X1)( X2 - X1 )- (2 )函数f (x)为(a, b)内的严格向下凸函数的充分必要条件是 对任意 X|, x2G (a, b) , X|# x2,都有 f (◎ f (Xl) +尸(X1)(X2-X1)-;■凸函数的