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函数值域的求法大全 题型一求函数值：特别是分段函数求值 例 1 已知.Ax) = Y7；(AeR.且xH —1), g(x) = T十2(xWR). ⑴求.A2), g⑵的值; ⑵求.处⑶啲值. 又???g(x)=W+2, ??.g(2)=22+2=6. (2)Tg(3)=32+2=ll, ?"?张⑶］=_A 11)= | _|_ | j = 72- 反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系./■的具体含狡，然后将变量代入解 析式计算,对于.心⑴］型的求值，按“由到外“的顺序进行，要注意./U⑴］与g［心)］的区别. 跟踪训练4已知函数 (1)求人2)；⑵求朋1)］. 解⑴??兀尸宝，"2)=嘉今? ⑵川)=58'?+1 1+1 2 2 3 ⑵川)= 5 8' T+2=v 刃川)]=耳)=￡ 3+2 5?已知函数.心)=疋+ *-1. ⑴求人2),用)； ⑵若.Ax) = 5,求x的值. 解(l)A2)=22+2-l=5, 1 +x—X 1 +x—X2 (2)???.心)=疋+大一1=5, ???x2+x—6=0, /?x=2t 或 x=—3. (3) 4.函数*?)对任意自然数X满足_Ax+i)=Aa)+i, 7(0)= 1,则戏5)= 答案6 解析人1)=人0)+1 = 1 + 1=2, ./(2)=/(1)+1=3, ?/(3)=/12)+1=4,?/(4)=/⑶+1=5, /(5)=A4)+1=6. 二、值域是函数y二f（x）中y的取值围。 常用的求值域的方法： （I） 直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （II） 平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题 利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b（a^O）的定义域为R,值域为R； k y =—伙 H 0） 反比例函数一 X 的定义域为｛x；xH0｝,值域为｛y'y^O｝； 二次函数八切=卅+加+心=0）的定义域为R, 少严y|^（4oe-/r） 当3>0时，值域为｛ 牝 ｝；当必0时，值域为｛ 牝 ｝? 例1 求下列函数的值域 o y=3x十2（?lSxSl） ② f（x） = - —（l<x<3） 3x ③y = X + -（记住图像） X 解:?V-l<x<l, A-3<3x<3, A-l<3x+2<5,即-lSyS5, .?.值域是[-1, 5] 略 当 x>0, y = x + — -（Vx- —）=）2 + 2 > 2, X yJX 当 x〈0 时，y = 一（一/ +丄）=一（7^7 — ^1=）2—25—2? -X 、l_x ???值域是（_s,_2]U[2, +s）?（此法也称为配方法） 函数y = x +丄的图像为： x 二次函数在区间上的值域（最值）: 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ?v = x2-4a + 1 ；②；y = x ?v = x2-4a + 1 ； ③y = x2 -4A + l,xe[0J]； ④y = -4x + l,xw[0,5]; 解：???），=兀2一4?+ ]=（兀一2）2一3, ???顶点为（2.-3）,顶点横坐标为2. ???抛物线的开口向上，函数的定义域R, Ax=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y |y>-3 }. ：?顶点横坐标2g[3,4], 当 x=3 时，y= -2； x=4 时，y=l； ???在[3,4]上,ymin=-2, >'max=l；值域为[-2, 1J. 丁顶点横坐标2g [0,1],当x=0时，y=l； x=l时，y=-2, ???在[0.1]上，儿十-2, Jmax=l;值域为[-2, 1]. ④，??顶点横坐标 2丘[0,5],当 x二0 时，y=l； x=2 时,y—3. x=5 时，y=6, ???在[0,1]上,ymin=-3, jmax=6；值域为[-3, 6]. 注：对于二次函数 /（x） = ax2 4- bx + c（a 0）, ⑴若定义域为R时， 当a>0时，则当“-上时，其最小值>￡.=（4""'）； 2a 4a 当a<0时，则当x = ~—时，其最大值乩=甌"； 2a max 4a ⑵若定义域为xe [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若xoe[a,b],则/（兀）長函数的最小值（a>0）时或最大值（H0）时, 再比较的大小决定函数的最大（小）值. ②若? E[a,b],则[a,b]是在/(x)的单调区间，只需比校的大小即可决定函 数的最大(小)值. 注：①若给定区间不長闭区间，则可能得不到最大(小