北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第4节《角平分线》参考课件.ppt

1.4 角平分线 (1); 一 学习新知; 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗?; 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.; 证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO ∵OP=OP ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE ;几何语言表示： 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ;′;已知:如图 所示, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别 是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上.;证明：∵PD⊥OA PE⊥OB ∴△POD和△BPOE都是Rt△ ∵PD=PE,OP=OP ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL) ∴ ∠POD= ∠POE ∴ OC是∠AOB的平分线; 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.;例题讲析; 二 挑战自我; 1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?;; 3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. ; 4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. ;证明: ∵ AD是△ABC的角平分线 且DE⊥AB,DF⊥AC ∴ DE=DF ∵BD=CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴ EB=EC; 5.如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,垂足为E.;解（1） ∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角) ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45° ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中; （2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD; 四 深入探索;已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？;证明：∵EG为∠ACB的平分线 ∴ ∠BCE= ∠ACE ∵CG为∠ACD的平分线 ∴ ∠DCG= ∠FCG ∵ EG∥BC ∴ ∠FEC=∠BCE, ∠FGC=∠GCD 从而∠ACE=∠FEC， ∠FGC=∠FCG ∴EF=FC,FC=FG 从而EF=FG ; 五 回顾与小结;定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). ;逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).;; 结束寄语