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配餐作业(六十) 定点、定值、探索性问题
(时间:40分钟)
2 2
x y
C a b F A
1. (2016·山西联考)已知椭圆 : + =1( > >0)的右焦点为 (1,0),右顶点为 ,
2 2
a b
AF
且| |=1。
C
(1)求椭圆 的标准方程;
l y kx m C P x Q
(2)若动直线 : = + 与椭圆 有且只有一个交点 ,且与直线 =4交于点 ,问:
→ →
M t, MP MQ M
是否存在一个定点 ( 0),使得 · =0。若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理
由。
c a c a b
解析 (1)由 =1, - =1,得 =2,∴ = 3,
2 2
x y
C
故椭圆 的标准方程为 + =1。
4 3
y kx m
= + ,
(2)由
x y2 2
3 +4 =12,
2 2 2
y k x kmx m
消去 得(3+4 ) +8 +4 -12=0,
2 2 2 2
km k m
∴Δ=64 -4(3+4 )(4 -12)=0,
m2 k2
即 =3+4 。
4km 4k
P x y x
设 ( , ),则 =- =- ,
P P P 3+4k2 m
4k2 3
y kx m m
= + =- + = ,
P P m m
k
P 4 3
即 - , 。
m m
M t, Q k m
∵ ( 0), (4,4 + ),
→ 4k 3 →
MP t MQ t, k m
∴ = - - , , =(4- 4 + ),
m m
→ → 4k 3
MP MQ - -t t k m
∴ · = ·(4-)+ ·(4+ )=
m m
4k
t t2 t
-4 +3+ ( -1)=0恒成立,
m
t=1,
t
故 即 =1。
t t2
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