人教版九年 上专题探究 第22章 抛物线和角度.pdfVIP

专题探究 抛物线与角度 方法技巧： 将角的关系转化为特殊图形、全等、相似、平行、对称等，或转化为线段之间的关系。 一、利用特殊三角形 2 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax +bx-7 的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，点C 为抛物线的顶点，且A ，C 两点的横坐标分别为1 和4 ． （1）求点B 的坐标； （2 ）求二次函数的函数表达式； （3 ）在（2 ）的抛物线上，是否存在点P ，使得∠BAP=45 °？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为A ，C 两点的横坐标分别为1，4 ， 所以点A （1，0 ）． 又因为点A ，B 关于对称轴x=4 对称，所以点B （7，0 ）． 2 （2 ）∵A （1，0 ），B （7，0 ）在抛物线y=ax +bx-7 上 a+b−7＝0 a ＝−1   ∴  ∴  49a+7b−7＝0 b ＝8   2 ∴ y=-x +8x-7 ； （3 ）设存在P （x ，y ）使得∠BAP=45 ° ①P 在x 轴上方的时候，作PE ⊥x 轴于E ，则x-1=y 2 即：x-1=-x +8x-7 ∴ x=6 或x=1 （舍去）； ②P 在x 轴下方的时候，作PF ⊥x 轴于F，则x-1= -y 2 即：x-1= -x +8x-7 ∴ x=8 或x=-7 （舍去） ∴存在点P （6，5 ）或P （8，-7 ）使得∠BAP=45 °． 二、利用全等三角形、相似 2 2 ．如图1，抛物线y=ax +2x+c （a≠0 ）与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，C 三点，已知A （-1,0 ）， C （0,3 ），抛物线的对称轴DF 与抛物线交于点D ，与x 轴交于点F，以AC 为边作等边 三角形ACE，点E 在第二象限 （1）求抛物线的解析式； （2 ）连接EF 交AC 于点M ，交y 轴于点P ，连接AP ，∠AEP= ∠ACO ，求点P 的坐标； （3 ）在（2 ）的条件下，如图2，若等边三角形ACE 沿x 轴方向平移，点Q 为抛物线对称 轴上一点，在平移过程中，是否存在点Q，使得以点A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 解：（1）把A （-1，0），C （0，3）代入抛物线y=ax+2x+c 中得： a−2+c＝0 a＝−1  ，解得：  c＝3 c＝3 2 ∴抛物线的解析式为：y=-x+2x+3； 2 （2）y=-x+2x+3=- （x-1）2+4， ∴ 抛物线的对称轴是：x=1，即OF=1， 如图1，过A作AH⊥EF于H， ∴∠EHA=∠COA=90°， ∵△ACE是等边三角形， ∴AE=AC， ∵∠AEP=∠ACO， ∴△AEH≌△ACO （AAS）， ∴AH=AO=1， ∵AF=1+1=2， 2 2 ∴FH= 2 －1= 3 ∵∠POF=∠AHF=90°，∠PFO=∠AFH， ∴△POF∽△AHF， ∴ OP：OF=AH：FH ∴ OP:1=1 ： 3 3 ∴OP= 3 ∴P （0， ）；3