高等数学课件：9.3 可降阶的高阶方程(1-20).ppt

§9.3 可降阶的高阶方程 1o 形如 y(n) = f (x) 的方程 例 求方程 的通解 解 对方程两边积分有 再积分得 再积分得 再积分得方程的通解 2o 二阶可降阶方程 二阶方程的一般形式: (1) 不显含因变量的二阶方程 (1) 令 , 则 , 代入方程 (1) 有 ( 一阶方程 ) 例 求方程 的通解 解 这是一不显含因变量 y 的二阶方程 令 , 则 , 代入方程有 ( 伯努里方程 ) 两边同乘 p ?2 得 令 得 通解 例 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索 , 两 端固定 , 绳索在重力的作用下自然下垂 , 求该绳索 在平衡状态下的曲线方程 0 x y M T mg H 解 如图建立坐标系 在曲线上取一点 M(x, y) ( ? O) 分析 OM 段上的受力情况 自身重力: mg = ρsg (ρ是线密度 , s为 的弧长) OM O点处的张力: H , M点处的张力: T 由于绳索平衡 ? 在各方向上的合力为零 在水平方向上: 在垂直方向上: 两式相除得 ( 其中 ) 又 两边对 x 求导得 ( 不显含因变量 y 的方程 ) 初始条件: 令 , 则 , ( 可分离变量方程 ) 代入方程有 积分得 令 x = 0 , p = 0 ? c1 = 0 , 所以有 再令 x = 0 , y = 0 ? c2 = ?a 所以有 例 设兔子从点 (1 , 0) 出发 , 其运动速度大小为常 数 v , 方向与 y 轴的正向相同 , 猎狗从原点 (0 , 0) 与兔子同时出发 , 以速度大小为 2v 追逐兔子 , 求 猎狗的运动轨迹 解 y 0 x 1 B 设猎狗的运动轨迹曲线为 y=y(x) 在时刻 t , 兔子位于 A( 1, vt ) , 猎狗位于 B( x , y ) , 则据题意有 又 A 两边对 x 求导有 ( 不显含因变量的方程 ) 从题意知初始条件: 令 , 则 , 代入方程有 分离变量得 积分得 令 x = 0 , p = 0 ? c1 = 1 , 两式相减得 积分得 令 x = 0 , y = 0 得 所以猎狗的运动轨迹为 例 一颗子弹以速度 v0 =200 m/s 打进一块厚度 为 0.1 m 的板 , 然后穿过板 , 以速度 v1= 80 m/s 离开板 , 该板对子弹运动的阻力与运动速度平 方成正比 , 问子弹穿过板用了多少时间 ? 解 0 x 0.1 设时刻 t , 子弹在木板中移动 到 x = x(t) ,子弹的质量为 m 根据牛顿第二定律有 若记 及注意到 v(0) = 200 则速度 v = v(t) 满足下初值问题: ( 可分离变量方程 ) 由 v(0) = 200 设子弹穿透板的所用时间为 T , 则据题意 又 v (T) = 80 于是有 例 已知二阶微分方程 ( 二阶线性方程 ) 的一个非零特解 ?(x) , 试利用变换 y =?(x)z , 求 该方程的通解 ( P(x) , Q(x) 连续 ) 解 由 y = ?(x)z , 知 代入方程有 即 令 , 则 , 方程转化为 通解 由 得 所以原方程的通解 (2) 不显含自变量的二阶方程 (2) 令 , 则 代入方程有 ( 关于 p , y 的一阶方程 ) 例 求解初值问题 解 方程是不显含自变量 x 的二阶方程 令 , 则 代入方程有 ( 伯努里方程 ) 令 , 得 通解 由 x = 0 , y = 1 , p = ?1 , 代入方程有 c1= 0 ? p = y 或者 p = ?y 因为 x = 0 , y = 1 , p = ?1 , 故 p = y 不合题意舍去 故知 p = ? y , 即 积分得 由 y(0) = 1 ? c = 1 , 所以初值问题的解为