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圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ( 一 )
最新考纲 1. 掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法; 2. 了解圆锥曲线的简单
应用; 3. 理解数形结合的思想 .
1. 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax+ By+C=0( A,B 不同时为
0) 代入圆锥曲线 C 的方程 F( x ,y ) =0,消去 y ( 也可以消去 x ) 得到一个关于变量 x ( 或变量
y) 的一元方程,
Ax By C
+ + =0 , 2
即 消去 y ,得 ax +bx+c=0.
( , )= 0
F x y
2
a ax bx c Δ Δ C
(1) 当 ≠0 时,设一元二次方程 + + =0 的判别式为 ,则 >0?直线与圆锥曲线
相交;
Δ=0?直线与圆锥曲线 C相切;
Δ< 0?直线与圆锥曲线 C相离 .
a b l C
(2) 当 =0, ≠0 时,即得到一个一次方程, 则直线 与圆锥曲线 相交, 且只有一个交点,
此时, 若 C为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; 若 C为抛物线, 则直
线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 .
2. 圆锥曲线的弦长
设斜率为 k( k ≠0) 的直线 l 与圆锥曲线 C相交于 A,B 两点, A( x1,y1) ,B( x2 ,y2) ,则
2
1 2
| AB| = 1+k | x -x |
2 2
= 1+k · (x 1+x2 ) -4x 1x2
1 1 2
2 y1 y2 2 y1 y2 y1y2
= 1+ ·| - | = 1+ · ( + ) -4 .
k k
例题精讲(考点分析)
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
2 2
x y
【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 2 + 2 =1( a>b>0) 的左焦点为 F1 ( -1,
a b
0) ,且点 P(0 , 1) 在 C1 上 .
(1) 求椭圆 C1 的方程;
2
1 2
(2) 设
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