席位分配问题.ppt

公平的席位分配模型 第一页，共37页。 1. 问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额? s-- 州数, pi-- 第 i 州人口数, p =Σ pi--总人口数 N--议员数, ni--第 i 州议员数, N=Σni. 根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案{n1, …, ns}. qi=(pi/p)N: 第 i 州应占有的议员的份额. 求{ni}，与{qi}最接近。 一. 问题与背景 第二页，共37页。 2. 背景 1787年美国颁布宪法, 规定“众议院议员的名额…将根据各州的人口比例分配”, 并于1788年生效. 1791年 Alexander Hamilton 提出了议员席位分配的方法, 并于1792年通过. 1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分配的除子法。 1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。 一. 问题与背景 第三页，共37页。 Alabama 悖论 1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Alabama州的议员席位从 8人减少为 7人。——这就是著名的 Alabama 悖论 第四页，共37页。 悖论重现 后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas 州的议员的席位又丢掉了一个。Maine 州也出现了类似的情况。1910年，Hamilton 的分配方法被停止使用了。 第五页，共37页。 问题的研究没有停止……. 1920年,Harvard大学的数学家Edward Huntington, Joseph Hill 开始研究这个问题。 1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们提出了EP（Equal Proportions）法，用以分配议员的席位。并且由Roosevelt 总统将它写入了法律，至今仍然延用。 1970年Michael Balinsky Peyton Young 进一步研究 。 1982 年提出了著名的 Balinsky Young 不可能定理。 第六页，共37页。 二. Hamilton 法及有关悖论 1. Hamilton 法： 记[qi] = int qi, 则有 qi-1[qi]? qi, N-sΣ[qi]≤N . 若等号成立, 则有 ni= qi=[qi] . 否则, 有 Σ[qi] N . 令 k = N- Σ[qi] , 0 k s . 记 ri = qi - [qi] , 不妨令 r1 ? r2 ??? rs. 则有ni = [qi] +1, i = 1,…,k ni = [qi] , i = k+1,…,s 第七页，共37页。 悖论的举例(1) 2. 有关悖论 10. Alabama 悖论: 人口不变, 总席位增加导致某州席位减少. 例1. P = 200, s = 3, N = 20?21 州 pi pi/p qi ni A 103 0.515 10.3 10 B 63 0.315 6.3 6 C 34 0.170 3.4 4 第八页，共37页。 20. 人口悖论: 人口增长, 分额增加的州可能失掉席位. 例 2 . P=1000, s=3, N=3, 人口增加100人后… 州 pi pi/p qi ni A 420 0.420 1.260 1 B 455 0.455 1.365 1 C 125 0.125 0.375 1 悖论的举例(2) 第九页，共37页。 悖论的举例(3) 30. 新州悖论: 原州人数不变, 增加新州(人数增), 席位按比例增, 将导致原州席位减少. 例 3. p=1000, s=2, N=4; p’=1200, s’=3, N’=5 州 pi qi ni A 623 2.492 2 B 377 1.508 2 第十页，共37页。 Hamilton 法解释 3. Hamilton 法的数学模型 q = (q1,…,qs)T: 份额向量, 1Tq=Σqi =N n = (n1,…,ns)T: 分配向量, 1Tn=Σni =N 它们均位于s维空间的s-1维单纯形 (s维空间的超平面)中 . 第十一页，共37页。