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用弹性中心法计算对称无铰拱 用弹性中心法计算对称无铰拱 用弹性中心法计算对称无铰拱 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 7.7　用弹性中心法计算对称无铰拱 一、弹性中心 为了简化计算，采用以下两项简化措施： 第一选取对称的基本结构 力法方程简化为两组独立的方程，即 FP FP A B A B 对称轴 X1 X3 X2 X2 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数d 12和d 21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程： 下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的 。 第一步，把原来的无铰拱换成带刚臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可以相互代替。 FP A B EI=∞ C O All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处切开。 第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。 副系数d 12的算式如下： FP A B EI=∞ C O FP A B K C x y y ys X1 X1 X2 X2 X3 X3 O All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 得 式中，yS为刚臂长度；j为截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。 x x x y y y y ys K K K X1=1 X1=1 X2=1 X2=1 X3=1 X3=1 x j All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 令d 12= d 21=0，便可得到刚臂长度yS为 为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。 (7-14) 如果先按式（7-14）求出yS，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。 ys x y y ds O 弹性中心 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 二、荷载作用下的计算 力法方程简化为式 当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10时，还需考虑轴力对d 22的影响。即 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔离体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表达式（d）]求得 式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的弯矩、剪力和轴力。 弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 【例7-14】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯矩MA和MC。设EI=常数。 解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因为 由于荷载对称，故反对称力X3=0 q q R R A B C ds qds qdssinq qdscosq q q qds dx dy ds x y ys X1 X1 X2 X2 X3 X3 基本体系 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 (1)求弹性中心位置 q q R R A B C ds qds qdssinq qdscosq q q qds dx dy ds x y ys X1 X1 X2 X2 X3 X3 基本体系 All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 (2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为 1）在X1=1作用下 直、曲杆段 2）在X2=1作用下 曲杆段 直杆段 q qds dx dy ds x y ys X1 X1 X2 X2 X3 X3 基本体系 X2 =1 ys y All Rights Reserved 用弹性中心法计算对称无铰拱 3）在荷载作用下 曲杆段 直杆段 据此，可求得系数和自由项为 q q q q ys y R MP MP (曲杆段) (直杆段) q