第八章弹性杆件横截面上的正应力分析.pptx

工程力学第八章弹性杆件横截面上的正应力分析 杆件内力（轴力、扭矩剪力，弯矩）—取决于外力大小。 杆件应力、变形—取决于内力与杆件截面的几何形状及尺寸等几何量。 截面图形的几何性质—与材料的；力学性质无关的截面几何量：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性积、惯性半径、形心主轴和形心主惯性矩等。§8-1 与应力分析相关的截面图形的几何性质 1. 静矩如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为A，选图示Oxy坐标系。定义分别为图形对于z轴和y轴的静矩（1）静矩与坐标轴的设置有关；（2）静矩可正、可负可为零；（3）静矩的单位为 或 。形心平面图形的形心—平面图形几何形状的中心。若将平面图形表示为匀质等厚薄片，则它的重心与截面图形的形心重合。设该图形的形心坐标为（ ， ），则由重心坐标公式有因此，已知截面的面积和其形心的坐标，可求得该截面对于坐标轴的静矩。形心轴——通过平面图形形心的坐标轴。（1）截面对其形心轴的静矩必为零；反之，若截面对某轴的静矩等于零，则该轴必为截面的形心轴。组合图形的静矩和形心位置 组合图形—由几个简单图形（如矩形、圆形或三角形等规则图形）组成的图形。 组合图形的静矩——整个图形对某一轴的静矩等于各组成部分对该轴静矩的代数和。 若已知各个简单图形的面积为Ai，又已知各个简单图形的形心坐标为（ ， ），（2） 将式（2）代入（1），得组合图形形心位置计算公式。（3）例 一矩形截面如图示，已知b,h,y1,试求有阴影线部分的面积对于对称轴z的静矩。2. 平面图形的惯性矩、极惯性矩及惯性积具有任意形状的截面图形的面积为A。选定Oyz坐标系。定义分别为图形对于z轴和y轴的惯性矩。极惯性矩定义为图形对点O的极惯性矩。（1）惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关；（2）惯性矩及极惯性矩恒为正；（3）惯性矩及极惯性矩的单位为 或 。 平面图形的半径将惯性矩表示为图形面积与某一长度平方的乘积，定义分别为图形对于z轴和y轴的惯性半径。（1）惯性半径恒为正；（2）惯性半径的单位为m或mm。例 求图形矩形截面对其对称轴y和z的惯性矩和惯性半径。例 求直径为D的圆形截面对过圆心O的正交坐标轴y和Z的惯性矩和惯性半径。平面图形的惯性积如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为A。选图示Oxy坐标系。定义为图形通过点O的一对坐标 轴（y,z）的惯性积。（1）惯性积可正，可负，可为零；（2）其单位为 或 。当y,z两坐标轴中有一根为图形的对称轴时，则其惯性积=0。组合图形的惯性矩和惯性积组合图形对某一轴的惯性矩（或惯性积）等于各组合图形对同一轴的惯性矩（或惯性积）之和。对图示空心矩形图形，可采用负面积法求其对z轴的惯性矩，如对图示空心圆截面，可求得其中， 为内外径之比3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式图示为任意平面图形，其中y轴平行于 轴，Z轴平行于 轴。且应用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得图形对 轴与 轴的惯性矩与惯性积分别为即有若z轴和y轴均为图形的形心轴 和 ，则 ，于是有惯性矩和惯性积的平行移轴公式。式中的a，b的正负号由截面形心在 坐标系的象限确定。注意：（1）在界面对所有平行轴的惯性矩中，以对通过其形心的轴的惯性矩为最小； （2 )由形心轴移轴后所得的惯性积则有可能增加也可能减少。例 图示矩形截面， ， 为截面的对称轴，试求截面图形对 ， 轴及 ， 轴的惯性矩和惯性积。4. 惯性矩和惯性积的转轴公式设新坐标系 由原坐标系 绕点O旋转 角( 角以逆时针旋转为正)而得。图形上任一微面积dA在两个坐标系内的坐标(y,z)和( , )之间的关系为(a)(b)应用三角函数关系式得同理可以写出 的表达式。此即为惯性矩和惯性积的转轴公式。即截面图形对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面图形对该坐标原点的极惯性矩 。惯性主轴和主惯性矩惯性主轴-截面图形对其惯性积等于零的一对坐标轴。主惯性矩—截面图形对惯性主轴的惯性矩。形心惯性主轴—通过形心的惯性主轴。形心主惯性矩—截面图形对形心惯性主轴的惯性矩。当截面有一根对称轴时，该对称轴及与之垂直的任意轴必为截面的惯性主轴。一般地，如何确定惯性主轴的位置？现在来确定过点O的惯性主轴（y0，z0）的位置。设惯性主轴（ y0，z0 ）是由轴（y，z）绕点O转动角度 而得。由转轴公式，解得（1）或如果将转轴公式对 求导并令其等于零，即令由此解得的是惯性矩取极值的 的表达式与式（1）完全一致。截面对于通过某一点的惯性主轴的主惯性矩之值，是对通过该点所有轴的惯性矩中的极值，其中的一个为极大值 ，另一个则为极小值