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章末小结
※教学目标※
【知识与技能】
进一步加深对一元二次方程及其解法的理解, 能选择适当的方法解一元二次方程, 掌握
用一元二次方程解决实际问题的思路方法,加强对应用问题的分析和解决 .
【过程与方法】
经历分析问题和解决问题的过程,拓展对一元二次方程的认识 .
【情感态度】
进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力,增强数学应用的兴趣和意识,
感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性,培养开拓创新精神 .
【教学重点】
理解并掌握一元二次方程的解法、 根与系数关系和根的判别式, 加强构建一元二次方程
解决应用问题的能力 .
【教学难点】
综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题 .
会用代数式表示问题中的数量关系,能根据问题的实际意义,检验所得结果的合理性 .
※教学过程※
一、整体把握
二、加深理解
1. 一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0 ( a, b, c 为常数,且 a 0 ) ,这里二次项系
数 a 0 是必要条件,而这一点往往在解题过程中易忽视,而导致结论出错 .
思考 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x 2 5x m2 3m 2 0 有一根为 0,则常数 m 的
值为 . (答案: 2)
一元二次方程的解法有: 开平方法、 配方法、公式法和因式分解法 . 对于具体的方程,
一定要认真观察,分析方程特征,选择恰当的方法予以求解
. 无论选择哪种方法来解方程,
降次思想是它的基本思想 .
3. 根的判别式及根与系数的关系:
( 1)根的判别式
b2
4ac 与 0
的大小关系可直接
确定方程的根的情况, 当
b2
4ac
0 时,方程有两个不相等的实数根;
当
b 2
4ac 0
时,方程有两个相等的实数根;当
b2
4ac 0 时,方程没有实数根
. ( 2)根与系数的关
系:若方程 ax2
bx c 0 a
0
的两个实数根为 x1 , x2
,则 x1
x2
b , x1 gx2
c . (3)利
a
a
第1页 共3页
用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时,
千万应注意验证
b2
4ac 是否大于等于
0,
否则所求出的值就不合题意应舍去,这点应引起学生的高度重视
.
4. 列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现,
如解决传播类问题、 增长率
类问题、 利润问题及几何图形的计算问题等,
而解决这些实际问题的关键是弄清题意,
找出
其中的等量关系,恰当设未知数,建立方程并予以求解,
需注意的是, 应根据问题的实际意
义检验结果是否合理 .
三、复习新知
例 1
已知关于 x 的方程 m
n
m n 2
1
m
n x mn
0 是一元二次方程, 则 m
n
1 x
的值为
.
m
2
1
2 ,故 m
n
2
1,∴ m
n
1,又因为一元二次方程
分析: 由题意应有
n
的饿二次项系数
m
n
1 0 ,∴ m
n
1 ,从而可知 m
n
1.
答案: -1
例 2
已知 a 是方程 x2
2014x
1
0
的一个根,求代数式
a 2
2013a
2014 的值 .
a2 1
解:根据方程的定义有
a2
2014a
1
0
,从而 a2
2013a
a
1 . a2
1
2014a ,故原式
= a 1
1
a2
a 1
2014a a
2013.
a
a
a
例 3
已知关于 x 的方程 x 2
2 m
1 x
m2
0 有两个实数根,试求
m 的最小整数值 .
解:由题意有
2 m 1
2
4 1
m2
8m
4
0 ,∴ m
1 ,故 m 的最小整数值为
2
0.
例 4
已知关于 x 的方程 x2
2x a
0 .
( 1)若方程有两个不相等的实数根,求
a 的取值范围;
( 2)若次方程的两个实数根为
x1, x2 ,则 1
1
的值能等于
2 吗?如果可以,请求出
a
x1
x2
3
的值;如果不能,请说明理由 .
解:在(1)中,可直接由
b2
4ac
4
4a 0 ,得 a
1 ;在( 2)中,不妨先令
1
1
2 ,
x1
x2
3
从而有
x1
x2
2
2
,解得 a
3 . 而当 a
3 时,原方程没有实数根,故
1
1
x1gx2
a
3
x1
的值不
x2
可能为 2.
3
例 5
某零售商购进一批单价为
16 元的玩具,销售一段时间后, 为了获得更多的利润,
商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件
20 元销售时,每月能卖出
210 件,假定每
月销售件数 y(件)是价格
x 的一次函数 .
( 1)试求 y 与 x 之间的关系式;
( 2)当销售价定为多少时,每月获得
1800 元利润?
( 3)每月的利润能达到
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