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专题三 . 隐零点专题
知识点
一、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数 f (x) ，导函数方程 f '( x) 0 的根存在， 却无法求出， 设方程 f ' (x) 0
的根为
x0 ，则①有关系式
f ' (x0 )
0 成立，②注意确定
x0 的合适范围
.
二、含参函数的隐零点问题
已知含参函数
f (x,a) ，其中
a 为参数，导函数方程
f ' ( x, a)
0 的根存在， 却无法求出，
设方程
f ' ( x)
0 的根为
x0 ，则①有关系式
f '( x0 )
0成立，该关系式给出了
x0 , a
的关系，
②注意确定
x0 的合适范围，往往和
a 的范围有关
.
例 1. 已知函数 g( x) ex
ln( x
2)
，证明 g(x) ＞ 0.
例 2. （ 01）已知函数 f
(
x
ex
a
ln
x
.
)
（ I ）讨论 f (x) 的导函数 f ' (x) 的零点的个数；
（ II
）证明：当 a 0
时， f ( x)
a( 2
ln a) .
例 3. （ 2017. 全国）已知函数
f ( x)
ax2
ax
x ln x，且 f ( x)
0.
（ I ）求 a ；
（ II
）证明： f ( x) 存在唯一的极大值点
x0 ，且 e 2
f ( x0 )
2 2
.
例 4.(2016.
全国甲 .21)
（ I ）讨论函数
f (x)
x
2
ex 的单调性，并证明当
x 0 时，
x
2
( x 2)ex
x
2 0;
（ II ）证明：当 a [0,1)
时，函数 g x =
ex
ax
a
(x
0)
有最小值 . 设 g
x 的最小值为
x
2
h(a) ，求函数 h(a) 的值域 .
例 5.
（ 2013. 湖 北 .10
） 已 知 a
为 常 数 ， 函 数 f ( x)
x ln x
ax 有 两 个 极 值 点
x1, x2 ( x1
x2 ) ，则
A.
f ( x1 ) 0, f ( x2 )
1
B.
f ( x1)
0, f (x2 )
1
2
2
C.f ( x1 ) 0, f ( x2 )
1
D.
1
2
f ( x1) 0, f (x2 )
2
例 6. （ 02）已知函数 f ( x)
x(1
ln x) .
（ I ）求函数 f (x) 的单调区间及其图象在点
x
1 处的切线方程；
（ II ）若 k Z ，且 k( x
1)
f ( x) 对任意 x
1 恒成立，求 k 的最大值 .
例 1
例 2
例 3
例 4
例 5
例 6
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