新课标八年级数学竞赛讲座：第六讲实数的概念及性质.pdfVIP

第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后， 数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、 一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们 的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： q 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 的形式；无理数是 p 无限不循环小数，不能写成分数 q 的形式，这里 p 、 q 是互质的整数，且 p 0 ． p 2 ．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； 无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解 【例 1】若 a、b 满足 3 a 5 b 3=7 ，则 S＝ 2 a 3 b 的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题 ) 思路点拨 运用 a 、 b 的非负性，建立关于 S 的不等式组． 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为， 宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比． 但 是该学派的成员希伯索斯发现边长为 1 的正方形的对角线长度既不是整数， 也不是整数的比 所能表示， 这严重地冲击了当时希腊人的传统见解， 这一事件在数学史上称为第一次数学危 机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受， 相传毕氏学派就因这一发现而把 希伯索斯投入海中处死． 【例 2】 设 a 是一个无理数，且 a、b 满足 ab－a－b+1=0 ，则 b 是一个 ( ) A ．小于 0 的有理数 B ．大于 0 的有理数 C．小于 0 的无理数 D ．大于 0 的无理数 (武汉市选拔赛试题 ) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立 a 或 b 的关系式． 1 3 1 13 1 9 【例 3】已知 a 、b 是有理数，且 ( )a ( )b 2 1 3 0 ，求 a、b 的值． 3 2 4 12 4 20 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于 a、b 的方程 组． 【例 4 】(1) 已知 a、b 为有理数， x ，y 分别表示 5 7 的整数部分和小数部分， 且满足 axy+by 2 ＝1，求 a+b 的值． (南昌市竞赛题 ) (2) 设 x 为一实数， [x] 表示不大于 x 的最大整数，求满足 [ －77.66x]=[ －77.66]x+1 的整数 x 的值． (江苏省竞赛题 ) 思路点拨 (1)运用估算的方法， 先确定 x ，y 的值， 再代入 xy+by 2 ＝1 中求出