新课标八年级数学竞赛讲座：第九讲三角形的边与角.pdfVIP

第九讲 三角形的边与角 三角形是最基本的图形之一， 是研究其他复杂图形的基础， 三角形的三边相互制约， 三 个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系 (如大角对大边、大边对大角等 ) ，反映三角形 的边与角关联的基本知识有： 三角形三边关系定理及推论、 三角形内角和定理及推论等， 它 们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用． 解与三角形的边与角有关的问题时， 往往要用到数形结合及分类讨论法， 即用代数方法 ( 方程、不等式 )解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论： (1) ∠l ＋∠ 2=∠3+ ∠4； 1 (2) 若 BD 、CO 分别为∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，则∠ BOC=90 °+ ∠A ； 2 1 (3) 若 BO、CO 分别为∠ DBC 、∠ ECB 的平分线，则∠ BOC=90 °－ ∠A ； 2 1 (4) 若 BE 、CE 分别为∠ ABC 、∠ACD 的平分线，则∠ E= ∠A ． 2 注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的 不同，可能在三角内部、边上或外部． 代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元， 运用几何知识建立方程 (组 ) 、不等式 (组 )， 将问题转化为解方程 (组 ) 或解不等式 ( 组)． 例题求解 【例 1】 在△ ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠ A ∠B ∠C，4 ∠C ＝7∠A ，则 ∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题 ) 思路点拨 设∠ C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠ A 、∠B 用 x 的代数式 表示，建立关于 x 的不等式组． 【例 2】以 1995 的质因数为边长的三角形共有 ( ) A ．4 个 B ．7 个 C ．13 个 D ．60 个 (河南省竞赛题 ) 思路点拨 1995=3 ×5 ×7 ×19，为做到计数的准确， 可将三角形按边分类， 注意三角形 三边应满足的关系制约． 【例3 】 (1) 如图， BE 是∠ ABD 的平分线． CF 是∠ ACD 的平分线， BE 与 CF 交于 G， 若∠ BDC=140 °，∠ BGC=110 °，求∠ A 的大小． ( “希望杯”邀请赛试题 ) (2)在△ ABC 中，∠ A=50 °，高 BE 、CF 交于 O ，且 O 不与 B 、C 重合，求∠ BOC 的 度数． ( “东方航空杯”——上海市竞赛题 ) 思路点拨 (1)运用凹边形的性质计算． (2) 由 O 不与 B 、C 重合知， ∠B 、∠C 均非直角， 这样，△ ABC 既可能是锐