新课标八年级数学竞赛讲座：第三十一讲完全平方数和完全平方式.pdfVIP

第三十一讲 完全平方数和完全平方式 设 n 是自然数， 若存在自然数 m，使得 n=m2 ，则称 n 是一个完全平方数 (或平方数 ) ．常 见的题型有： 判断一个数是否是完全平方数； 证明一个数不是完全平方数； 关于存在性问题 和其他有关问题等．最常用的性质有： (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是 0， 1，4 ，5，6，9 ，个位数字是 2 ，3，7 ，8 的数一定不是平方数； (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为 6 ， 而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数； (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式； (5)任何整数平方之后，只能是 3n 或 3n+1 的形式，从而知，形如 3n+2 的数绝不是平方 数；任何整数平方之后只能是 5n ，5n+1 ，5n+4 的形式，从而知 5n+2 或 5n+3 的数绝不是平 方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数； (7)如果自然数 n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数 n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数； (8)偶数的平方一定能被 4 整除；奇数的平方被 8 除余 1，且十位数字必是偶数． 例题求解 【例 1】 n 是正整数， 3n+1 是完全平方数，证明： n+l 是 3 个完全平方数之和． 思路点拨 设 3n+1=m 2 ，显然 3 卜m，因此， m=3k+1 或 m=3k+2(k 是正整数 )． 2 m 1 2 若 rn=3k+1 ，则 n 3k 2k ． 3 2 2 2 2 ∴ n+1=3k +2k+1= k + k +( k+1) ． 2 m 1 2 若 m=3k+2 ，则 n 3k 4 k 1 3 ∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2 +(k+1) 2 +( k+1) 2 ． 故 n+1 是 3 个完全平方数之和． 【例 2】一个正整数，如果加上 100 是一个平方数，如果加上 168，则是另一个平方数，求 这个正整数． 思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解． 设所求正整数为 x ，则 2 x+100=m ① 2 x+168==n ② 其中 m，n 都是正整数， ②—①得 n2— m2=68 ，即 （n— m ）(n+m)=2 2 ×17． ③ 因 n— m，n+m 具有相同的奇偶性，由③知 n— m，n+m 都是偶数．注意到 0n— mn+m ， n m 2 由③可得 ． n m 2 17 解得 n=18．代人②得 x=156 ，即为所求． 【例 3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数” ，比如 2 2 16=5 — 3 ， 16 就是一个“智慧数” ．在正整数中从 1 开始数起，试问第 1998 个“智慧数” 是哪个数