新课标八年级数学竞赛讲座：第二十三讲代数证明.pdfVIP

第二十三讲 代数证明 代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系． 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2) 从左右两边人手，相向推进； 左边 (3) 作差或作商证明，即证明：左边一右边 =0 ， 1(右边 0 ) ． 右边 条件等式的证明实质是有根据、 有目的的代数式恒等变换， 证明的关键是寻找条件与结 论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有 利于与已知条件的沟通． 代数证明不同于几何证明， 几何证明有直观的图形为依托， 而代数证明却取决于代数式 化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用． 例题求解 x y z 1 1 1 3 【例 1】(1) 求证： 2 2 2 ax a ay a az a x a y a z a a （2 ）求证： ( a 1) 2 ( b 1 ) 2 (ab 1 ) 2 4 (a 1 )( b 1)( ab 1 ) ． a b ab a b ab 思路点拨 (1) 从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联 系； (2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值， 使得等式总能成立， 那么这个等 式叫做恒等式． 把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子， 这种变形叫做恒等 变形，形变值不变是恒等变形的特点． 代数式的化简求值、 代数证明其实质都是作恒等变形， 分解、 换元、 引参、 配方、 分组、 拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法． 【例2】 已知 x y a b ，且 x 2 y 2 a 2 b2 ． 求证： x 2001 y 2001 a 2001 b2001 ． (黄冈市竞赛题 ) 思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与 a、b 间关系，寻找证题的突破口． 【例 3】 有 18 支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比 赛的结果没有平局，如果用 a 和 b ，分别表示第 i(I=1 ，2 ，3… 18)支球队在整个赛程中胜与 i i 负的局数． 2 2 2 2 2 2 求证： a1 a2 a18 b1 b2 b18 ． (天津市竞赛题 ) 思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 3 3 3 1 1 1 【例4 】 已知 ax by cz ，且 1． x y z 3 2 2 2 3 3 3 求证： ax by cz a b c ． 思路点拨 条件中有一个连等式， 恰当引入参数， 把待证式两边都变形为与参数相同的 同一个代数式．