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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟547 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 假设区域D由曲线y=px3(x＞0，p＞0)及其过点(1，p)的切线与x轴围成，设此区域的形心为则的值为______ A． B． C． D． 答案:A[解析] y|x=1=3px2|x=1=3p，切线为y=p+3p(x-1)． 切线与x轴交点为切线与y轴交点为(0，-2p)； 切线与曲线交点为(1，p)，如图．   区域D的面积  则  问题:2. 设A是n阶矩阵，下列结论正确的是______．A.设r(A)=r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零B.设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值C.设A为对称矩阵，A2=2A，r(A)=r，则A有r个特征值为2，其余全为零D.设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同答案:C[解析] 取，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)=2，A不对； 设，显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，B不对；  两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，D不对；选C.  事实上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)=r得A的特征值中有r个2，其余全部为零． 问题:3. 设f(x，y)连续，且，其中D={(x，y)|1≤x2+y2≤9}，则厂(x，y)等于 A．x2．  B．x2+y2．  C．  D． 答案:C[解析] 设，则f(x，y)=x2+ay2．于是  解之得，故． 问题:4. 设函数f(x)在x=0处连续，且，则______A.f(0)=0且f-(0)存在．B.f(0)=1且f-(0)存在．C.f(0)=0且f+(0)存在．D.f(0)=1且f+(0)存在．答案:C问题:5. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其一阶导函数f(x)的图形如图所示，并设在f(x)存在处f(x)也存在．则曲线y=f(x)的拐点个数为______ A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C[解析] 拐点与二阶导数有关，而题中给出的是f(x)的图形，所以要由f(x)推出f(x)的大致图形以此分析曲线y=f(x)的拐点个数．为叙述方便，重新画个图并注以字母，如图所示．  在x1处，f(x)=[f(x)]=0，且在x=x1的左侧邻域，f(x)=[f(x)]＜0，右侧邻域f(x)=[f(x)]＞0，所以点(x1，f(x1))是一个拐点．类似地，在x=0的左侧邻域f(x)=[f(x)]0，右侧邻域f(x)=[f(x)]＜0，点(0，f(0))也是一个拐点．在x=x2的左、右两侧均有f(x)=[f(x)]＜0，f(x)不变号．故曲线y=f(x)只有两个拐点：(x1，f(x1))与(0，f(0))．选C． 问题:6. 设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O，则A和B的秩______A.必有一个等于零．B.都小于n．C.一个小于n，一个等于n．D.都等于n答案:B问题:7. 设f(x)在x=0某邻域二阶可导，且f(0)=0，则______A.f(0)是f(x)的极大值．B.f(0)是f(x)的极小值．C.(0，f(0))是f(x)的拐点．D.x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是f(x)的拐点．答案:B[解析] 由已知，得  由极限的保号性可知，f(x)在x=0的附近与|x|同号，即为正，因此f(x)在x=0的附近为下凸的．  又f(0)=0，故x=0是f(x)的极小值点． 问题:8. 设f(x)在点x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是 A．  B．  C．  D． 答案:D[解析] 由于h→+∞时，则存在只能得出f(x)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在．B，C明显不对，这两个选项中的极限存在不能推导出存在，故不能作为f(x)在x=a点可导的充分条件． 又  则应选D．  对B选项切勿这样处理：   因为这里不符合极限四则运算法则(都未必存在)，对C选项同理． 二、填空题问题:1. 设A和B是两个相似的三阶矩阵，矩阵A有特征值1，矩阵B有特征值2和3，则行列式|AB+A|=______．答案:144[解析] 由于A，B为相似矩阵，因此有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3