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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟566 一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论错误的是______．A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1，1对应的特征向量正交D.方程组Ax=0的基础解系含有一个线性无关的解向量答案:C[考点] 特征值与特征向量 [解析] 选项A正确．由λ1=-1，λ2=0，λ3=1，得|A|=0，则r(A)＜3，即A不可逆；  选项B正确．因  λ1+λ2+λ3=tr(A)=0  选项C错误．因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，故选C；  选项D正确．因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而Ax=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量． 问题:2. 下列命题 ①设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续； ②设f-(x0)与f+(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；  ③设与均存在，则f(x)在x=x0处必连续； ④设与中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0处必不可导正确的个数是______A.1．B.2．C.3．D.4．答案:A[解析] f-(x0)存在，即f(x)在x=x0处左导数存在，推知f(x)在x=x0处左连续；f+(x0)存在，推知f(x)在x=x0处右连续．故f(x)在x=x0处连续，②正确． ①与③都不正确，因为这两种情形，f(x0)可能没有定义．  ④也不正确，反例： 不存在，但f(0)却存在．问题:3. 若函数，在x=0处连续，则______ A． B． C．ab=0  D．ab=2 答案:A[解析] ，∵f(x)在x=0处连续，∴，选A．问题:4. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是______．A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价答案:D[考点] 向量 [解析] 选项A，B，C错误．设m=1，n=3，取α1=(1，0，0)T，β1=(1，1，0)T，可同时排除A，B，C选项．  选项D正确．因为α1，α2，…，αm线性无关r(α1，α2，…，αm}=r(A)=m． 同理，向量组β1，β2，…，βm线性无关r(B)=r{β1，β2，…，βm}=m． 注意到A，B为同型矩阵，故A，B等价r(A)=r(B)．问题:5. 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则 A．φ[f(x)]必有间断点．  B．[φ(x)]2必有间断点．  C．f[φ(x)]必有间断点．  D．必有间断点．答案:D[解析] 解法1 反证法．设处处连续，则，从而φ(x)处处连续，与原题设矛盾． 解法2 排除法．举反例f(x)≡1，φ[f(x)]≡1，处处连续，不选A；[φ(x)]2≡1，处处连续，不选B；f[φ(x)]≡1，处处连续，不选C．则应选D． 对于连续函数的复合运算，只有连续函数复合连续函数是连续函数，其余的各种复合都是没有结论的，需要具体考查，于是A，C直接排除． 问题:6. 设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则______A.(A*)*=|A|n-1A．B.(A*)*=|A|n+1A．C.(A*)*=|A|n-2A．D.(A*)*=|A|n+2A．答案:C问题:7. 设若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为______．A.3B.4C.5D.6答案:C[解析]  因为f(x)在x=0处可导，所以k-2=3，即k=5，选C. 问题:8. 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，其中α是比Δx(Δx→0)高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=______ A． B．2π．  C．π．  D． 答案:A[解析] 本题实质上是解微分方程．首先由增量式舍去高阶无穷小得到微分方程  利用分离变量解得y=Cearctanx．再由y(0)=π得C=π，即y=πea