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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟568 一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设f(x)=2x+3x-2，则当x→0时，______A.f(x)是x的等价无穷小．B.f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C.f(x)是比x较低阶的无穷小．D.f(x)是比x较高阶的无穷小．答案:B问题:2. 设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.若A2～B2，则A～BB.矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C.若A，B的特征值相同，则A～BD.若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化答案:D[解析] 由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩阵P1，使得； 因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2，使得 即于是有  取，即B可相似对角化．选D问题:3. 累次积分其中a＞0为常数，则I可写成______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题．先将I表成由D的极坐标表示： 0≤θ≤π，0≤r≤asinθ  即r2=x2+y2≤arsinθ=ay  可知 如下图．   若是先y后x的积分顺序，则   于是 因此选C．  若是先x后y的积分顺序应是  问题:4. 若f(x)在[a，b]上可导，且f+(a)·f-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．今给出下列论断： ①f(x)在(a，b)内必有拐点．  ②f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点．  ③f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内．  ④f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点．  其中正确的论断有______ A.一个．B.二个．C.三个．D.四个．答案:C[解析] 对选项①：用反证法，如果f(x)在(a，b)内没有拐点，则f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的．即f(x)在(a，b)内是单调减的，或者f(x)在(a，b)内是单调增的．因此f(x)在(a，b)至多有一个零点．但由条件f+(a)·f-(b)＞0和f(a)=f(b)=0，可推出f(x)在(a，b)内至少还有一个零点，即f(x)在[a，b]内至少有三个零点，因此f(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与f(x)在(a，b)内单调矛盾．因此①正确． 对选项②③：f(x)在[a，b]上连续f(x)在[a，b]上有最大、最小点； f(a)=f(b)和f(a)·f(b)＞0最大最小点不在端点； 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，②③正确． 对选项④：不正确，可举反例：   满足条件：在[a，b]上可导，且f+(a)·f-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．其导函数为   显然它在x=0点附近有无穷多个极值点． 问题:5. 设f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的______A.必要条件但非充分条件．B.充分条件但非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．答案:C[解析] 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于  故 所以   按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即fx(0，0)=0，fy(0，0)=0．  再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx(0，0)与fy(0，0)必都存在．   其中x→0+时，取“+”，x→0-时，取“-”．  由于fx(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕． 问题:6. 曲线渐近线的条数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:D[解析]  所以x=0是一条铅直渐近线．又 所以沿x→+∞方向没有水平渐近线．又   所以沿x→+∞方向有斜渐近线y=x．  再看沿x→-∞方向：   所以沿x→-∞方向该曲线有水平渐近线y=0．即然沿x→-∞方向已有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线．故共有3条渐近线，应选D．  对于(*)式中极限还有如下处理：