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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟580 一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设n阶矩阵A与n阶矩阵B等价．有______．A.|A|=a≠0，则|B|=aB.|A|=a≠0，则|B|=-aC.|A|=a≠0，则|B|=0D.|A|=0，则|B|=0答案:D[考点] 矩阵 [解析] A和B等价存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，故 |PAQ|=|P||A||Q|=|B|  由于P，Q可逆，则|P|≠0，|Q|≠0，但并不知具体的数值，故当|A|=a≠0时，|B|的值无法确定，排除选项A，B，C．  但当|A|=0时，必有|B|=|P||A||Q|=0，故应选D．  再如，取，A与B等价，|A|=1，|B|=4，同时排除选项A，B，C．问题:2. 下列各式中正确的是______． A． B． C． D． 答案:A问题:3. 等于______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 问题:4. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组ABx=0满足______．A.当n＞m时，仅有零解B.当n＞m时，必有非零解C.当m＞n时，仅有零解D.当m＞n时，必有非零解答案:D[考点] 线性方程组 [解析] 由题知AB是m阶矩阵，当m＞n时，r(AB)≤r(A)≤n＜m，故|AB|=0，所以ABx=0必有非零解．故选D． 问题:5. 设f(x0)=f(x0)=0，f(x0)＞0，则下列选项正确的是______A.f(x0)是f(x)的极大值．B.f(x0)是f(x)的极大值．C.f(x0)是f(x)的极小值．D.(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．答案:D问题:6. 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则______ A.t0=10B.15＜t0＜20C.t0=25D.t0＞25答案:C[解析] 从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为，则乙要追上甲，则，当t0=25时满足，故选C．问题:7. 设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则下列结论正确的是______． A．A的任意m阶子式都不等于零  B．A的任意m个列向量线性无关  C．方程组AX=b一定有无数个解  D．矩阵A经过初等行变换化为 答案:C[解析] 因为A与都是m行，所以，所以方程组AX=b一定有无数个解，选C.问题:8. 已知设，则F(x)为______ A． B． C． D． 答案:D[解析]  所以应选D．  f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，B，C．问题:9. 设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩______A.必有一个等于0．B.都小于n．C.一个小于n，一个等于nD.都等于n．答案:B问题:10. 已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且f(1)=f(1)=1，则______A.在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B.在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C.在(1-δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D.在(1-δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x．答案:A[解析] 由选项看出，题目是要确定x与f(x)在所讨论区间内的大小关系，因此，构造辅助函数F(x)=f(x)-x．由题目的条件知 F(1)=0，F(1)=0，  f(x)=f(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)， 故F(x)在x=1处取得极大值，即F(1)=0在区间(1-δ，1+δ)内为极大值，从而  f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，  即A正确． 二、填空题问题:1. 设f(x)在x=2处可导，且，则f(2)=______，f(2)=______．答案:0，8[解析] 因为，所以，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0． 由，得f(2)=8．问题:2. 设y=y(x)可导，y(0)=2，令Δy=y(x+Δz)-y(x)，且，其中α是当Δx→0时的无穷小量，则y(x)=______．答案: