几何与代数：5-2 矩阵的相似对角化.ppt

三、矩阵的相似对角化 定理3 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 . 定理4 矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关 . 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是特征单根，则 A 与对角矩阵相似 . 推论3 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似 设 设矩阵 例 下列矩阵能否与对角矩阵相似 . 例 设矩阵 例 设 例 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： A ~ diag ( 1 , -1 , 3 ). 解 B ~ diag ( 0 , 1 , 1 ). 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义. 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例 已知方阵A的特征值是 相应的特征向量是 求矩阵A. 四、可相似对角化矩阵的应用 因为特征向量是3维向量，所以矩阵A是3阶方阵. 因为A有3个不同的特征值，所以A可以对角化. 解 即存在可逆矩阵P, 使得 其中 求得 解 2.求方阵的幂 解 第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值 第二步:对每个特征值 代入齐次线性方程组 中,求出一个基础解系. 自由未知量: 自由未知量: 第三步: 3.求行列式 例 设A是n阶方阵， 是A的n个特征值， 计算 解 设 的特征值是 ,即 求 的全部特征值， 的特征值是 再求乘积即为行列式的值. 4. 判断矩阵是否相似 解 的特征值为 令 3阶矩阵B有3个不同的特征值，所以B可以对角化. 例 已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3， 设 问矩阵B能否与对角阵相似？ 例 设n阶方阵A有n个互异的特征值， n阶方阵B与A有相同的特征值. 证明A与B相似. 设A的n个互异的特征值为 则存在可逆矩阵 , 使得 证明 又 也是矩阵B的特征值， 所以存在可逆矩阵 , 使得 即 即存在可逆矩阵 ,使得 即A与B相似. 证 证 例 解 (1) 第一步 写出矩阵A的特征方程,求出特征值. 第二步 对每个特征值 代入齐次线性方程组 中,求出一个基础解系. 自由未知量: 自由未知量: 第三步 写出全部特征向量 (2) 一、相似矩阵的基本概念 § 5.2 矩阵的相似对角化 三、矩阵的相似对角化 二、相似矩阵的性质 四、可相似对角化矩阵的应用 定义 一、相似矩阵的定义与性质 矩阵相似是一种等价关系. 定理1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩. ? 证明 A与B特征多项式相同, 因而特征值相同. 二、相似矩阵的性质 (1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆. 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似. 其它的有关相似矩阵的性质 （介绍） (2) 若A与B相似，则kA与kB相似. (4) 若A与B相似，而f(x)是一个多项式， 则 f(A)与f(B)相似. (3) m个 与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵I本身. 与数量矩阵kI 相似的n阶方阵只有数量阵kI本身. 利用对角矩阵计算矩阵多项式 可以很方便地计算矩阵A 的多项式. 例 x=0，y=-2. 解 定理2 证 证 (1)若 A 可对角化，即 A 相似于对角阵? , 则 ? 的主对角元素就是 A 的全部特征值. (2)若 A 可对角化，则由 A 的 n 个线性无关的特征向量 p1, p2, …, pn 可构造 P = (p1, p2, …, pn )，使 P?1AP =?. 若不记特征值 ? 排列的顺序，则 ? 是唯一的，称 ? 为 A 的相似标准形. 显然 P 不唯一. 注意 证 证 (逆命题不成立) 　矩阵与对角矩阵相似的充分条件 (1)有n个不同的特征值；或 (2)有n个线性无关的特征向量. 则A可对角化. 则A不可对角化. 例 解 求x与y应满足的条件 . 解 A能否对角化？若能对角 例 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 解 * * * *