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七年级数学(上)第一章 有理数 知识明细与提优
(注意点:计算与概念的认识,期中考试重点)
一、有理数的基本概念
1.正数:大于0的数叫做正数;负数:小于0的数叫做负数。
备注:在正数前面加“-”的数是负数;“0”既不是正数,也不是负数。
2.有理数:整数和分数统称有理数。
3.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线。
性质:(1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;(3)所有有理数都可以用数轴上的点表示。
4.相反数 :只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数。
性质:(1)数a的相反数是-a(a是任意一个有理数);(2)0的相反数是0;(3)若a、b互为相反数,则a+b=0;若a、b互为相反数且a、b都不等于零,则;
5.倒数 :乘积是1的两个数互为倒数 。
性质:(1)a的倒数是(a≠0); (2)0没有倒数 ;(3)若a与b互为倒数,则ab=1;若a与b互为负倒数,则ab=-1。
倒数与相反数的区别和联系:
(1)与-互为相反数; 与(≠ 0)互为倒数;(2)符号上:互为相反数(除0外)的两数的符号相反;互为倒数的两数符号相同;(3)a、b互为相反数 →→ a+b=0;a、b互为倒数 →→ ab=1;(4)相反数是本身的数是0,倒数是本身的数是±1 。
6.绝对值:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
性质:(1)数a的绝对值记作︱a︱;(2)若a>0,则︱a︱= a;若a<0,则︱a︱= -a;若a =0,则︱a︱=0;(3) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
7.有理数大小的比较:(1)可通过数轴比较:在数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。即:若a<0,b<0,且︱a︱>︱b︱,则a < b.
8.科学记数法:把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫做科学记数法。其中1≤|a|<10,n为正整数, n=原数的整数位数-1。
二、有理数的运算
1、运算法则:
(1)有理数加法法则:① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数相加得0; ③ 一个数同0相加,仍得这个数。
★用数学语言描述有理数加法法则:
①同号相加:若a0,b0,则a+b=︱a︱+︱b︱;若a0,b0,则a+b=-(︱a︱+︱b︱)。
②异号相加:若a0,b0,︱a︱︱b︱,则a+b=︱a︱-︱b︱;若a0,b0,︱a︱︱b︱, 则a+b= -(︱b︱-︱a︱);若a、b互为相反数,则a+b=0;
③与0相加a是任一个有理数,则a+0=a。
(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。
(3)有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0。
规律:① 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。② 几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。
★用数学语言描述有理数乘法法则:
①同号相乘:若a0,b0,则 ab=+︱a︱×︱b︱;若a0,b0,则 ab=+︱a︱×︱b︱;
②异号相乘:若a0,b0,则 ab=-︱a︱×︱b︱;若a0,b0,则 ab=-︱a︱×︱b︱;
③数与0相乘:a为任何有理数,则 a×0=0。
(4)有理数除法法则:①除以一个数等于乘上这个数的倒数;即 (b≠0);
② 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于0的数,都得0。
(5)有理数的乘方
①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
即a·a·a· ··· ·a=
2、运算顺序:
(1)有括号,先算括号里面的;(2)先算乘方,再算乘除,最后算加减;(3)对只含乘除,或只含加减的运算,应从左往右运算;(4)可以使用运算律的尽可能使用运算律。
3、有理数的运算律:
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法分配律:
有理数除法法则:·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
·两个有理数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除。0除以任何数都得0,且0不能作除数。
有理数的乘方:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在中叫做底
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