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五、幂函数
1.幂函数的概念
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
这里需要注意三点:
(1)幂函数的系数必须为 .
(2)幂函数的底数是自变量 .
(3)幂函数的指数为常数.
2.幂函数的图象与性质
(1)幂函数的图象:在统一坐标系中作出幂函数
的图象.
2 幂函数图象的画法与其他函数图象的画法相同,步骤是:列表,描点,连线.
②幂函数图象与其他函数图象相比,图象的位置和形状变化复杂,指数发生微小
的变化,图象的位置和形状可能发生很大的变化.
③一般研究幂函数时,会对幂函数的指数分类讨论,一般会分为
a. ,此时 即为 .
b. ,此时还需要细分为 , , 三种情况.
c. ,此时还需要细分为 , , 三种情况.
注意:一般先研究第一象限内的图象,再根据函数的特征研究整个定义域内的图
象.
(2)幂函数的性质
函数
定义域
值域
非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数
在 上
在 上 在 在 和
为增函数; 在 上为
单调性 为增函 上为增函 上为减
在 上 增函数
数 数 函数
为减函数
定点
图象形状 直线 抛物线 拐线 抛物线 双曲线
3.幂函数的定义域
对于一般的 定义域,我们将它改写成为根式,再根据
根式来求他的定义域.
可以归纳出如下结论:
(1)当 时,定义域情况如下:
取值 定义域
(2)当 时,(1)中定义域均要去掉
零.
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