解析函数的级数表示.pptxVIP

第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) ;第一讲;§4.1 复数项级数;一、复数序列的极限;就能找到一个正数N,;反之, 如果;称为复数项级数.;则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成; 定理4.2 复级数 收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:;解（1）;例3 ;证明 因为级数 收敛的充分必要条件是;例4;故原级数收敛.;§4.2 复变函数项级数;设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函 数f(z),对于D内的每一点z, 级数（4.2）均收敛于 f(z), 则称f(z)为级数(4.2)的和函数, 记为:;的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1, c2 ,…, 都是复常数.; 定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a||z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.;收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使; 推论 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则满 足|z-a||z2-a|的点z都是幂级数(4.3)发散点.;当 z≠a有以下三种情况:;(2) 对于任意z≠a幂级数（4.3）都发散.;发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.);.; 一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能: (1)处处发散. (2)处处收敛. (2)既有收敛点,又有发散点. ;则幂级数 的收敛半径为:;例1;即原级数在圆;所以;例3;级数收敛,;O;(1) 幂级数;例4 求级数;例5 计算; 课后作业; 第二讲;一、解析函数泰勒定理 二、一些初等函数的泰勒展式;一、解析函数泰勒定理;此式称为 在 的泰勒展开式, 它右 端的级数称为 在 处的泰勒级数.;二、一些初等函数的泰勒展式;例2 把下列函数展开成 z 的幂级数;（3） 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.;因为;推论2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛);而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数;§4.4 洛朗(Laurent)级数 (Laurent’s series); 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 本节将讨论在以 z0 为中心??圆环域内的解析函数的级数表示法.;的级数称为双边幂级数;负幂项部分;收敛半径;z0;z0;其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:; 定理4.7 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内 解析, 则; 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 的洛朗级数.;常见的特殊圆环域:;将函数展成洛朗级数;根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可;典型例题;故由柯西–古萨基本定理知:;另解; 分别在圆环域 （1） 0 |z| 1; （2） 1| z| 2; （3）2 |z| +? 内 展开成洛朗级数.;y; (2) 在(最大的)去心邻域;函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. ;特别的，当洛朗级数的系数公式;例5;例6 ; 课后作业