初一数学分类讨论思想例题分析及练习.docx

练习题库 | 千锤百练 PAGE PAGE 4 word版本 | 实用可编辑 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 　　在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题〞。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。 　　在分类讨论的问题中有三个重要的本卷须知。　　1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的根本步骤中出现了“条件不确定，无法进展下一步〞(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 　　2. 分类讨论需要注意什么关键是“不重、不漏〞，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意〞。 　　【例1】 解方程：|x-1|=2　　分析：绝对值为2 的数有2个　　解：x-1=2或x-1=-2, 那么x=3或x=-1　　说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题〞。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。 1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)　　处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性 2. 类似于“解方程〞(如此题)　　处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。 　　3. 使用绝对值的几何意义解题(如|x-1|<2，求x的取值范围)　　处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。 　　 【例2】 试比较1+a与1-a的大小。　　分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：　　①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0　　解：作差 (1+a)-(1-a)=2a　　分类讨论：　　①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a　　②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a　　③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a 答：当a>0时，1+a>1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a<0时，1+a<1-a。 【例3】 线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。　　分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。　　处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。　　解：如示意图，有两种情况。 　　如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm　　如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm 　　 【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？ 解：5个或4个或3个。 【例5】△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？　　解：设AB=AC=x　　①当AB=2BC时，BC=0.5x　　据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，那么BC=0.5x=4cm　　②当BC=2AB时，BC=2x　　据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm，那么BC=2x=10cm　　检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形；　　当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。　　答：BC长为4cm。　 　 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。 解：付款162元，由于162＞100，可确定享受了优惠。 因不确定是打九折还是打八折，所以分类。 ①∵200×=180＞162，∴162元可能享受了九折优惠，162÷=180〔元〕； ②∵200×=160＜162，∴162元可能享受了八折优惠，162÷=202.5〔元〕 答：小明所购书的价格为180元或202.5元。 　 【例7】 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？　　分