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《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
1.掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比;
2.掌握相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;
3.进一步体会利用类比的思想研究相似图形与全等图形的方法;
4.探究经历“试验、猜想、证明”的过程,感受几何命题的合理性,并通过证明确认命题正确,培养学生发现问题、解决问题的能力.
二、教学重难点
重点:掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比.
难点:掌握相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
类比全等三角形的研究方法,来研究相似三角形的性质
【教学建议】通过复习回顾,激发学生的学习兴趣,为新课的学习进行铺垫.
思考并分析问题
通过情景引入,引发学生的思考,为学习新课做铺垫, 培养学生善于思考的习惯,激发学生的学习兴趣
环节二
探究新知
【探究】
在相似三角形中,对应边上的高线之比等于相似比吗?
如图,△ABC∽△ABC,相似比为k,AD和A′D′分别是△ABC和△ABC的高,
求证:.
思路点拨:构造包含高线在内的相似三角形,利用性质得到
【证明】
证明:∵△ABC∽△ABC,
∴∠B=∠B′.
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形,
∴∠ADB=∠ A′D′B′ .
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴.
反思:证明过程反复依赖于相似三角形的判定与性质,强化对相似三角形判定与性质的综合应用
分组讨论,合作探究完成学习任务
经历知识的探究过程,使学生通过全程参与,掌握知识,培养数学核心素养和能力
【归纳】
性质:相似三角形对应高的比等于相似比.
符号语言:
∵△ABC∽△A′B′C′,相似比是k
且AD⊥BC,A′D′⊥B′C′ .
∴.
【思考】
在相似三角形中,对应角的角平分线之比等于相似比吗?依据是什么?
【证明】
已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即
求证:
证明:∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B′=∠B,∠B′A′C′=∠BAC
又∵AD,A′D′分别为对应角的平分线
∴△ABD∽△A′B′D′
∴.
【延伸、总结】
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比
对应中线的比都相等,且都等于相似比.
符号语言
∵△ABC∽△ A′B′C′ ,相似比是k
且AD、A′D′是对应边的高线,
BF、B′F′是对应边的中线,
CE、C′E′是对应角的角平分线,
∴
【教学建议】通过探究环节的设计,引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务
【做一做】两个相似三角形相似比是2:5,已知其中一个三角形的一条高线为10,那么另一个三角形对应的高线长度是 .
答案:4或25
分析:相似三角形的对应线段的比等于相似比
解:设另一个三角形的对应的高线长度是h,则
或
解得,h=4或h=25
【教学建议】通过做一做环节,检验学生对知识点的掌握程度,做到当堂检测的目的
独立思考并尝试写出解答过程
通过这个环节的教学,让学生进一步理解重要知识点
【探究】
相似三角形的周长比和面积比,分别与相似比有着怎样的关系呢?请你研究一下吧
(1)如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k.△ABC的周长和△A′B′C′的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.
猜想:周长比等于相似比
证明:∵△ABC∽△ABC,
(等比性质)
∴相似三角形周长的比等于相似比
(2)如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k.△ABC的面积和△A′B′C′的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.
猜想:面积比等于相似比的平方
证明:∵S△ABC=
∵
∴
∴相似三角形面积的比等于相似比的平方
【教学建议】通过探究环节的设计,引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务
分组讨论,合作探究完成学习任务
经历知识的探究过程,使学生通过全程参与,掌握知识,培养数学核心素养和能力
环节三
应用新知
【典型例题】
例1 如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为,求△DEF的边EF上的高和面积.
解:在△ABC和△DEF中,
∵AB=2DE,AC=2DF,
∴.
又∠D=∠A,
∴△DEF∽△ABC,△DEF与△ABC的相似比为.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积为,
∴△DEF的边EF上的高为,面积为
先说明相似关系,再依据重要线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,分别进行求解.
例2 如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点,求:
(1)△DEF的周长与△ABC的周长之比.
(2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB边
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