国家集训队作业xmas解题报告.pdfVIP

W erCamp2003 《xmas》解题 许智磊 题目 见xmas.doc 。 题目要素 初看本题，有以下几点值得注意： 1. A 盘上环形分布着N 根针，它们的长度为1~N 之间的整数且各不相同， 这是已经知道的；B 盘上环形分布着N 个孔，它们的深度为1~N 之间 的整数且各不相同，这是没有 知的。 5 ——A 和B 都可以看作1~N 的一个排列。其中N=10 。 2. A 盘可以 地旋转，也就是说可以对排列A 作循环。且总存在一种 旋转的方式使A 盘的每根针正好可以完全 B 盘的孔里而不会露在 外面，使得两个盘贴紧。也就是存在一种循环的方式将排列A 变为排 列B 。 ——A 和B 是“循环同构”的。 3. 可以将A 盘压向B 盘（称为Drop ）。每次压下之后，如果两盘贴紧， 那么程序自动退出，否则会返回 A 、B 盘之间的距离，也就是每根针 的长度减去所对孔的深度的最大值。要求在5 次之内将两个盘贴紧。 ——要设法利用排列A 以及若干次压下的返回值来确定排列B 。 看起来，可以利用的信息不多，这是一道有难度的交互式题目。 初步分析 由于排列A 和B 是循环同构的，因此首先可以判定排列B 只有N 种可能的 5 情况，也就是排列A 的0 次，1 次……(N-1)次循环，显然，最多可以有10 种。 5 的问题就是要通过最多5 次的Drop 把这最多 10 种可能情况筛到 唯一的一种并返回，平均每次要筛掉9/10 以上，这看起来是一个严峻的 ！ 于是 首先想到：一定要充分利用到Drop 的返回值，尽量苛刻地筛掉那 些不可能的情况。怎样筛呢？ 可以这样做： 定义dis(A,B)=max{Ai-Bi} ，也就是排列A 到排列B 的距离等于A 的每个元 素减去对应的 B 的元 差的最大值，也就是题目中所说的两个圆盘之间的距 离。首先算出排列A 到所有可能的排列B 的距离，并保存下来。 用一个线性表保存所有可能的排列B 的情况（只需保存是A 的几次循环即 可），每次选择其中的一个，设为A 的X 次循环，让A 转动到这种情况，执行 Drop ，如果两个盘贴紧，那么就成功了，否则的话，依次 当前所有的可能情 况，判断是否符合这次Drop 的结果d 。判断方法为：设当前 的排列B 为排 列A 的Y 次循环，那么就看排列A 到排列((Y-X+N) mod N) 的距离是否等于d ， 如果不相等，说明这个情况不再符合目前得到的事实，应该筛去。 这样一直筛下去，总有一次执行Drop 时会是排列A 转动到正确的排列B ， 这样一定可以正确出解（当然，这是说Drop 调用不超过5 次的情况下）。 这个算法效果如何呢？它基本上完全利用到了每次Drop 的结果，因此 不用再多考虑它的调用次数问题——因为即使不能在5 次内出来，也只能抱怨我 们运气太差，算法上很难再有所突破了。 但是它的时间复杂度实在是太高了，因为它需要一个预处理来计算排列 A 到所有N 个可能的排列B 的距离，而每次计算的复杂度是O(N) ，所以预处理的 2 5 复杂度为O(N ) ，而N