第1章应力理论.pptVIP

C: 张量与标量相乘 D: 张量相乘 T （二阶张量）乘u （一阶张量）= 三阶张量 E: 张量的点积 二个二阶张量的点积是一个二阶张量。 第61页，共122页，编辑于2022年，星期六 §4　二阶张量 二阶张量在连续介质力学中有广泛的应用，例如应力张量、应变张量都是二阶张量。 张量的基本性质： 张量的分量一定可以组成某些函数 这些函数的值不随坐标而变，即： 这样的函数叫做张量的不变量。 第62页，共122页，编辑于2022年，星期六 2. 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义另一同阶张量。因此张量可以叠加，也可以分解。 3. 如某张量具有性质Pij =Pji，就叫对称张量。 如果Pij =-Pji ，则叫反对称张量， 这时i=j的分量必为零。 如果Pij ≠Pji 就叫非对称张量。 第63页，共122页，编辑于2022年，星期六 4. 二阶对称张量的一个重要特点是它一定有三个主轴，如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都将为零，只留下下角标相同的三个分量，叫做主值。 第64页，共122页，编辑于2022年，星期六 第1章 应力理论 第65页，共122页，编辑于2022年，星期六 1.1 外力与应力 物体承受外力 ： 表面力：作用在物体表面上的力； 体积力：作用在物体每个质点上的力。如重力 。 内力：外力作用引起物体内部间相互作用力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。 应力：单位面积上的内力 正应力σ：垂直于切面上的应力 剪应力τ：平行于切面上的应力 全应力S ：Q点取面积⊿F上内力的合力为⊿P 第66页，共122页，编辑于2022年，星期六 S σ τ 第67页，共122页，编辑于2022年，星期六 1.2 物体内应力状态 点应力状态：物体内一点各个截面上的应力情况。 点应力状态用单元体三对相互垂直面上的应力表示。 点的应力状态的研究具体内容：建立通过一点各截面上的应力表达方式，研究它们之间的相互联系。 第68页，共122页，编辑于2022年，星期六 边长分别为dx、dy、dz 三个微分面用各自的法线方向命名 第69页，共122页，编辑于2022年，星期六 应力分量的正、负号确定： 1. 判断是正面，还是负面。 2. 根据应力的指向判断正、负。 第70页，共122页，编辑于2022年，星期六 点的应力状态张量表达 σxx τxy τxz —— 作用在X面上 τyx σyy τyz —— 作用在y面上 τzx τzy σzz —— 作用在Z面上  作用方向为Z 作用方向为y 作用方向为x 第71页，共122页，编辑于2022年，星期六 点的应力状态是一个二阶张量，叫应力张量， 用符号σij(i,j＝x、y、z)表示。i=j =x，为σxx， 即σx，如：i=x，j=y，为σxy，即τxy 第72页，共122页，编辑于2022年，星期六 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为 MPa。 例题 画出该点的应力单元体； 第73页，共122页，编辑于2022年，星期六 设ABC微分面的法线为N、N的方向余弦为 1.3 任意斜面上的应力 全应力及分量 第74页，共122页，编辑于2022年，星期六 正应力和剪应力 正应力σ就是S在法线的投影，也就是等于Si在法线N上的投影之和。 第75页，共122页，编辑于2022年，星期六 应力边界条件：如果质点处在物体的边界上，ABC就是物体的外表面。该面上的外力 (j=x、y、z)： （应力边界条件） 第76页，共122页，编辑于2022年，星期六 例题 已知物体中的一点应力分量为σx=0，σy=2a，σz=a，τxy=a，τxz=2a，τyz=0，试求作用在此点的平面x+3y+z=1的应力分量，σ和τ的数值。 解：已知若平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其方向余弦为： 因此平面x+3y+z=1的方向余弦为: 第77页，共122页，编辑于2022年，星期六 应力分量S为： 第78页，共122页，编辑于2022年，星期六 1.4 主应力、应力状态不变量 1. 基本概念 主平面, 主应力, 应力主方向,应力不变量，应力状态 主应力（Principal stress ）：指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向 该面叫做主平面，法线方向为主方向 在主平面上τ=0 对于一点的应力状态，一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平面和三个主应力。 第79页，共122页，编