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函数y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)的示意图
本文主要内容：
通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)示意图的主要步骤。
※.函数的定义域
∵x-1≠0，
∴x≠1，即函数的定义域为：
(-∞,1)∪(1,+∞）
※.函数的单调性
∵y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)
∴eq \f(dy,dx) =eq \f((9x2+4x)(x-1)2-2(x-1)(3x3+2x2),(x-1)4)
=eq \f((9x2+4x)(x-1)-2(3x3+2x2),(x-1)3)
=eq \f(x[(9x+4)(x-1)-2(3x2+2x)],(x-1)3)
=eq \f(x(3x2-9x-4),(x-1)3)
令eq \f(dy,dx) =0，则x1=0或3x2-9x-4=0。当3x2-9x-4=0时，有：
x2=eq \f(9-\r(129),6), x3=eq \f(9+\r(129),6)
(1).当x∈(eq \f(9-\r(129),6),0), (1, eq \f(9+\r(129),6)]时，eq \f(dy,dx) ＜0，此时函数y为减函数；
(2).当x∈(-∞, eq \f(9-\r(129),6)],[0,1),( eq \f(9+\r(129),6)，+∞)时，eq \f(dy,dx) ＞0，此时函数y为增函数。
※.函数的凸凹性
∵eq \f(dy,dx) =eq \f(3x3-9x2-4x,(x-1)3)
∴eq \f(d2y,dx2) =eq \f((9x2-18x-4)(x-1)3-3(3x3-9x2-4x)(x-1)2,(x-1)6)
=eq \f((9x2-18x-4)(x-1)-3(3x3-9x2-4x),(x-1)4)
=eq \f(26x+4,(x-1)4) =eq \f(2(13x+2),(x-1)4)
令eq \f(d2y,dx2)=0,则：13x+2=0，即x=-eq \f(2,13) .
(1).当x∈(-∞，-eq \f(2,13))时，eq \f(d2y,dx2)＜0，此时函数y为凸函数；
(2).当x∈(-eq \f(2,13),1)∪(1，+∞)时，eq \f(d2y,dx2)＞0，此时函数y为凹函数。
※.函数的极限
lim(x→-∞)eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)=-∞ lim(x→1+)eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)=+∞
lim(x→1-)eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)=+∞ lim(x→+∞)eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)=+∞
※.函数上的部分点解析表
x
-4.39
-3.39
-2.39
-1.39
-0.39
y
-7.40
-4.87
-2.56
-0.73
0.065
x
-0.39
-0.27
-0.15
-0.07
0
y
0.065
0.053
0.026
0.007
0
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
y
0
0.028
0.162
0.532
1.422
x
2
2.34
2.69
3.04
3.39
y
32
27.50
25.51
24.69
24.48
x
3.39
3.59
3.79
3.99
4.19
y
24.48
24.53
24.67
24.87
25.13
※.函数的示意图
y
(2,32)
(2.34,27.50)
(4.19, 25.13)
(3.04,24.69)
(0.4,1.422)
x
(-1.39, -0.73) o
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