数建模微分方程的应用举例.pdf

第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我 们将集中讨论微分方程的实际应用，读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际 问题的魅力. 内容分布 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物 质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻 t 的质 量. dx 用 x 表示该放射性物质在时刻 t的质量, 则 表示 x在时刻 t的衰变速度, 于是“衰变 dt 速度与现存的质量成正比”可表示为 dx kx. (8.1) dt 这是一个以 x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中 k 0 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t增加时, 质量 x 减少. 解方程 (8.1)得通解 x Ce kt.若已知当 t t 时, x x ,代入通解 x Ce kt 中可得 0 0 kt C x e , 则可得到方程 (8.1)特解 0 0 x x e k (t t ), 0 0 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注:物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时 238U 间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( )的半衰期约为 50 亿年 ; 226 Ra 通常的镭 ( )的半衰期是 1600 年.半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依 赖于该物质的初始量, 一克226 Ra 衰变成半克所需要的时间与一吨226 Ra 衰变成半吨所需要 的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测 验的基础. 二、 逻辑斯谛（Logistic）方程: 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型 , 下面我们借助树的增长来 建立该模型. 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不 见, 绿荫底下已经可乘凉了 ;但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下 1 / 7 来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型. 如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比 , 则显然不符合两头尤其是后期的生长 情形, 因为树不可能越长越快 ;但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差 , 则又明显不符合中间一段的生长过程 . 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度 , 又与最大高度与目前高度之差成正比. 设树生长的最大高度为 H (m),在 t(年)时的高度为 h (t),则有 dh (t)