第03章多维随机变量及其分布.pptVIP

当 z 0 时 , 当 z 0 时 , 当且仅当 即 时, 上述积分的被积函数不等于零. 故 第126页，共198页，编辑于2022年，星期五 于是 的概率密度为 第127页，共198页，编辑于2022年，星期五 （三）Z=X/Y 第128页，共198页，编辑于2022年，星期五 第129页，共198页，编辑于2022年，星期五 第130页，共198页，编辑于2022年，星期五 第131页，共198页，编辑于2022年，星期五 第132页，共198页，编辑于2022年，星期五 第133页，共198页，编辑于2022年，星期五 例: 设 X、Y分别表示两只不同型号的灯泡寿命，且X、Y相互独立，它们的概率密度依次为： 其它 其它 试求 的概率密度函数 第134页，共198页，编辑于2022年，星期五 解:当 时,由上式Z的概率密度为 而当 时 即 第135页，共198页，编辑于2022年，星期五 （四） 第136页，共198页，编辑于2022年，星期五 解：因X与Y相互独立，故其联合密度为 第137页，共198页，编辑于2022年，星期五 当z0时， 第138页，共198页，编辑于2022年，星期五 于是， 从而，Z的密度函数为 我们称Z服从参数为 的瑞利(Rayleigh)分布. 第139页，共198页，编辑于2022年，星期五 第五节二维随机变量函数的分布 第94页，共198页，编辑于2022年，星期五 §3.5 二维随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维随机变量，g(x,y)是二元函数，则Z=g(X,Y)是 随机变量。 一维 如果已知(X,Y)的概率密度函数f(x,y)(或联合 分布律),我们如何求Z=g(X,Y)的分布呢？ 下面，我们分离散型和连续型两种类型说明 其解法。 第95页，共198页，编辑于2022年，星期五 一、二维离散型随机变量函数的分布律 -1 1 2 -1 1/4 1/10 3/10 2 3/20 3/20 1/20 X Y 例1. 设(X,Y)的分布律由下表给出， 求Z=X+Y的分布律. 第96页，共198页，编辑于2022年，星期五 所以，离散型的随机变量的和的分布律的求法很简单，只要把取相同函数值的概率相加，再整理即得其分布律。 第97页，共198页，编辑于2022年，星期五 例2 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率分布. 解 =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 r=0,1,2, … 第98页，共198页，编辑于2022年，星期五 解 依题意 于是 i = 0 , 1 , 2 , … j = 0 , 1 , 2 , … 例3 若 X 和 Y 相互独立,且 证明 Z=X+Y~ 第99页，共198页，编辑于2022年，星期五 r = 0 , 1 , … 即Z服从参数为 的泊松分布. 第100页，共198页，编辑于2022年，星期五 结论： 若 且X与Y 相互独立， 则 若 且X与Y独立，则 特别地，若X~B(1, p),Y~B(1, p),且X与Y独立，则 X+Y~ B(2, p). 第101页，共198页，编辑于2022年，星期五 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是: 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. 二、二维连续型随机变量的分布 (一) Z=X+Y 第102页，共198页，编辑于2022年，星期五 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 第103页，共198页，编辑于2022年，星期五 由概率密度与分布函数的关