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新高考数学选择性必修一常用公式(一)
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新高考数学选择性必修一常用公式(一)
第一章空间向量
1、非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
2.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直
a·b=0
(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
eq \r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))
夹角
〈a,b〉
(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉=eq \f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)+b\o\al(2,2)+b\o\al(2,3)))
3.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:eq \o(OA,\s\up6(→))=xeq \o(OB,\s\up6(→))+yeq \o(OC,\s\up6(→))(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
4.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:eq \o(OP,\s\up6(→))=xeq \o(OA,\s\up6(→))+yeq \o(OB,\s\up6(→))+zeq \o(OC,\s\up6(→))(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
5.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2
l1∥l2
n1∥n2?n1=λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n2·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?m·n=0
l⊥α
n∥m?n=λm
平面α、β的法向量分别为n、m
α∥β
n∥m?n=λm
α⊥β
n⊥m?n·m=0
6.两条异面直线所成角的求法
两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=eq \f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a,b所成的角).
7.直线和平面所成角的求法
如图,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=eq \f(|n·e|,|n||e|).
8.求二面角的大小θ
如图②③,n1,n分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小满足|cosθ|=cosn1,n2 ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
9.利用空间向量求距离:线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
如图,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为d=eq \f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
10.直线的方向向量的确定:A,B是l上任意两点,则eq \o(AB,\s\up6(→))及与eq \o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量.
11.平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·a=0,,n·b=0.))
第二章 解析几何
1.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的__正切值___叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=__tanα___,倾斜角是90°的直线斜率不存在.
(2)过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=__eq \f(y2-y1,x2-x1)___.
2.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
__y-y0=k(x-x0)___
不含直线x=x0
斜截式
__y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1
不含垂直于x轴、平行于x轴和__过原点的___直线
一般式
Ax+By+C=0
其中要求__A2+B2≠0___
适用于平面直角坐标系内的所有直线
3.两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合___三种情况.
(1)两条直线平行
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2.
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,
l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B
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