等差数列及其前n项和讲义.docx

- - .z. . z. 等差数列及其前 n 项和 一、等差数列的相关概念 〔一〕等差数列的定义：如果一个数列从．第．二．项．起．，．每．一．项．与．它．前．一．项．的．差．等． n?1 n于．同．一．个．常．数．，则这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。利用： a － a ＝ d ( d n?1 n 注意：〔1〕如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，则此数列不是等 — ＝ － (n差数列；〔2〕等差数列要求这个常数必须一样；〔3〕公差d ： d ＝ — ＝ － (n n?1 n n n?1 ≥2)；〔4〕当d ＝0 时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；〔5〕公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。 〔二〕、等差数列的通项公式 如果等差数列{ a }的首项为a ，公差为d ，则它的通项公式是a ＝ a ＋(n－1) d ，或者通 n 项公式的变形： a n 1 ＝． ma ＋．．(n－．m．) d ＝ ． m n ． 1 ．．．． 〔三〕、等差中项： 〔1〕由三个数a ，A，b 组成的等差数列，A 叫做a 和b 的等差中项，则 2A＝ a ＋b； ．．．． ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．． ．． ． ．．． 〔2〕假设在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差 ＝ ＋ 。中项，即 2 a a a ＝ ＋ 。 n n?1 n?1 〔3〕 特别地：在△ABC 中，A、B、C 成等差数列，则B＝600。 例 1：数列{ a }为等差数列a 5 ＝ ， a 7 ，则a  ＝ 。【根本量法】 n 31 【解析】 － 4 . 3 4 7 ＝－4 15 nn 1 2 3 4变式练习 1：假设等差数列{ a }的公差d ≠0，且a ， a 是关于*的方程*2－ a *＋ a ＝0 n n 1 2 3 4 ?a ＋a ＝a ， ?2a ＋d＝a ＋2d， ??a ＝2， 【解】 由题意知? 1 2 3 ∴? 1 1 解得? 1 a ＝2n. ?a a ＝a ， ?a a ＋d ＝a ＋3d， ??d＝2， n 1 2 4 1 1 1 变式练习 2：〔1〕方程*2－6*＋1＝0 的两根的等差中项为 。 〔2〕等差数列{ a n  }中，前三项依次为 1 5 1 ， ， ，则公差d ＝ . x ? 1 6x x * ＋* 【解析】(1)设方程两根为* 、* ，则* ＋* ＝6，所以其等差中项为 1 2＝3. 1 2 1 2 (2)由 1 1 5 * a 2 1 d 1 *＋1＋*＝2×6*得 ＝2，故知等差数列{ n}的首项为3，公差 ＝12. 变式练习 3：等差数列{ a }中，假设a － a ＝20，则a － a ＝( ) n 7 3 2017 2011 A：40 B：30 C：25 D：20 【解析】选 B.因为 4d＝a ×5＝30. 二、等差数列的性质 －a ＝20，所以d＝5，于是 a 7 3 －a 2021 ＝6d＝6 2021 1、 d ＞0，{ a }是递增数列； d ＝0， { a }是常数列； d ＜0， { a }是递减数列。 n n n 12、公差d ＝ an ? a ＝ an ? am (m、n∈N ) 1 n ? 1 n ? m ＋ ＋3、假设p＋q＝m＋n，则a ＋ a ＝ a ＋ a m、n、p、q∈N ； ＋ p q m n 特别地： m ? n ＝k，则 2 a 2 k ＝ a ＋ a m n  (角标公式) 例 2：在公差为d 的等差数列{ a }中， n ＋〔1〕假设a a ＋ 2 3 a a ＋＋23 24 ＋ ＋ ＝48，则a 。 132 3 5 54 2〔2〕假设a ＋ a ＋ a ＋ a ＝34， a × 13 2 3 5 54 2 ??a ＝4， ??a ＝13， 【解析】：〔1〕a ＝12.〔2〕∴? 2 或? 2 ∴d＝3 或 d＝－3. 55＋2＋6104＋813 ??a ＝13 ??a ＝4， 5 5 ＋ 2 ＋ 6 10 4 ＋ 8 变式练习 1：等差数列{ a n 2 【解析】：3 }中， a a a ＝1，则a a ＝ 。 变式练习 2：〔1〕在等差数列中a 1 ＋ a9 ＝15， a8 ＝4，则a2 ＝( ) A：10 B：11C：12 D：9 - 【解析】 B 〔2〕在等差数列{ a }中，假设a ＝10，则a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a ＝( ) n 4 2 3 4 5 6 A：30 B：40C：50 D：60 1102【解析】 C 1 10 2 变式练习 3：在