数学物理方法第4章.pptx

数学物理方法第4章 2 学习要求与内容提要 目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握 用留数定理计算典型实定积分的方 法。 重点： 难点： 留数的计算与留数定理 留数的计算与留数定理 第1页/共65页 3 （一）留数引入 4.1 留数定理 第2页/共65页 4 第3页/共65页 5 （二）有限远留数定理 说明: 2. 留数定理将沿封闭曲线l积分转化为求 被积函数在l内各孤立奇点处的留数. 第4页/共65页 6 证 由复连通域的柯西定理 第5页/共65页 7 2.留数的计算方法 规则1 第6页/共65页 8 解 规则2 那末 第7页/共65页 9 解 第8页/共65页 10 解 第9页/共65页 11 规则3 分析 由规则3得 第10页/共65页 12 计算较麻烦. 解 第11页/共65页 13 （三）无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向 说明 记作 1.定义 l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 第12页/共65页 14 证 由留数定义有: 第13页/共65页 15 说明: 由定理得 (留数定理) 计算积分 计算无穷远点的留数. 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数) 第14页/共65页 16 说明: 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 第15页/共65页 17 解：共有七个奇点： 　前6个根均在　　　内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。即 例5 计算 而 故　　　　　　　 。从而 第16页/共65页 18 §4.1 1.（1）（3）（5）（7）（9） 2. （1）（3） 3. 第17页/共65页 19 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 第18页/共65页 20 留数定理计算实变函数定积分原理： 设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。 第19页/共65页 21 如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段l1 )，此区间应是回路l=l1+l2的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分： 左边可以利用留数定理，右边对l2 的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择l2 使积分最易完成。 第20页/共65页 22 （一）形如 的积分 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 第21页/共65页 23 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件。 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点。 第22页/共65页 24 解 则 第23页/共65页 25 第24页/共65页 26 例2 解 故积分有意义. 第25页/共65页 27 第26页/共65页 28 因此 第27页/共65页 29 例3 证 如图路径， 第28页/共65页 30 注意：由图可得出 第29页/共65页 31 令两端实部与虚部分别相等，得 菲涅耳(fresnel)积分 第30页/共65页 32 （二）形如 的积分 分析 可先讨论 最后令 即可 . 第31页/共65页 33 下面分析中采用“围道积分法”和留数定理计算！ 首先把积分转化为围道积分，即 第32页/共65页 34 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使f(z)所有的在上半平面内的极点 第33页/共65页 35 根据留数定理得 : 第34页/共65页 36 第35页/共65页 37 例4 计算积分 解 第36页/共65页 38 第37页/共65页 39 积分存在要求: F(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且F(z)在实轴上 无孤立奇点. 与 曲线l ,使F(z)所有的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 . 同前一型: 补线 一起构成封闭 都 （三）形如 的积分 第38页/共65页 40 第39页/共65页 41 从而 第40页/共65页 42 由留数定理: 第41页/共65页 43 例5 计算积分 解 在上