向量代数与空间解析几何.pptxVIP

第 7章 向量代数与空间解析几何 第1页，共82页。 §1 空间直角坐标系1.空间直角坐标系空间直角坐标系 Oxyzz坐标原点 O坐标轴 Ox , Oy , Ozy坐标平面 xOy , yOz , xOzO?x右手系第2页，共82页。卦限IIIIIIVVIIIVIVIIIV第3页，共82页。MM???M1?M22. 点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影 空间一点M在平面上的投影第4页，共82页。z3.点的直角坐标RMyOQPxM ? (x, y, z)有序数组(x, y, z)称为点M的坐标，记为M(x, y, z)x, y, z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.第5页，共82页。討論题原点O的坐标坐标轴上的点的坐标坐标面上的点的坐标各卦限中的点的坐标的符号第6页，共82页。4. 两点间距离数轴上两点 M1=x1, M2=x2, 有d=| M1 M2|=| x2 – x1|平面上两点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), 有设空间中两点M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 是否应有第7页，共82页。R2RR1M2zM1QPNQ1Q2P1P2yOx由勾股定理第8页，共82页。M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 特别地，点O (0, 0, 0) 与 M (x, y, z)之间的距离例1. 在Oz轴上求与A(?4,1,7)和B(3,5,?2)等距离的点.解： 设所求的点为M(0,0,z).由|AM|=|BM|，得化简求得第9页，共82页。作图要点坐标系. Oy轴与Oy轴垂直，单位等长； Ox轴与Oy轴交角120?(或135?)，单位长为Oy轴上的单位长的 倍(或 倍) ；直线. 空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行；作图： 作点 P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1)第10页，共82页。aBA模：向量的大小，记|| a ||, aba–a §2 向量的概念及其表示1. 向量向量：既有大小又有方向的量单位向量：模等于1的向量零向量：模等于0的向量(方向任意) ，记0. 所有向量的共性：大小、方向，因此定义向量相等：①模相等, ②方向相同，记 a=b负向量：与a的模相等而方向相反的向量， 记 –a.第11页，共82页。b c=a+b c=a+bbaa2. 向量的加法 c=a+b三角形法则平行四边形法则第12页，共82页。a3a4 a1+a2+a3+a4a2a1ba–ba–b a1+a2+…+an运算规律：(1) a+b=b+a (交换律)(2) (a+b)+c=a+(b+c) (结合律)(3) a+0=a(4) a+(–a)=03. 向量减法a–b= a+(–b)第13页，共82页。2aaa4. 数与向量的乘法模：||?a||=|? |·||a||??0?0: 与a相同方向：?a=?0: 与a相反?=0: ?a=0运算律：(1) ?(?a)=(??)a=? (?a)结合律 (2)(?+?)a=?a+?a分配律 ?(a+b)=?a+ ?b(3) 1·a=a, (–1)a= – a第14页，共82页。定理1 b//a ? ?? ?R , 使 b= ?a. ?a ?0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，由 ||a|| 0，故 ||a||·a° 也与 a 方向相同，且|| ||a||·a° || = ||a||·||a° ||= ||a|| 于是而同时有称 a° 为 a 的单位向量. (常被用来表示向量 a 的方向.)第15页，共82页。a?bM2?u25. 向量在轴上的投影向量间的夹角? =〈a, b〉= 〈b, a〉限定 0?〈a, b〉??M2aM1向量在轴 u 上的投影数值u1uO(1)= ||a|| cos〈a, u〉第16页，共82页。M2a2a1M3M1uu1u2u3(2)第17页，共82页。且 与e 同向，故 且 与e 反向，故 又00；5. 向量的分解和向量的坐标例1. 设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又e为与u轴正向一致的单位向量，则事实上, 若u1u2, 有 若u1u2, 有 若u1=u2, 有 故也有 第18页，共82页。M2zM1R2RyOR1QxPNQ1Q2P1称 为 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 . P2但 第19页，共82页。M2zM1zkR2RyOOj yR1xiQxPNQ1Q2P1P2令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy, Oz 坐标轴正向的基本单 位向量.记点P1, P2的坐标为x=x1, x= x2；点