(4.4.1)--4.4平面问题矩形单元分析.ppt

4.6 平面矩形单元　　矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。 矩形单元如图示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。 引用一个无量纲的局部坐标系 ，局部坐标系的原点取在矩形的形心上， 轴分别与整体坐标轴平行，它们之间的坐标变换为在局部坐标系中，四个节点坐标分别是即为（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。 4.6.1 位移模式 形函数 双线性模式从中求出合并写成:（2-74） 4.6.2 单元应变写成矩阵形式四节点矩形单元不再是常应变单元。几何方程将位移函数带入上式复合函数求导法则 4.6.3 单元应力 四节点矩形单元不再是常应力单元。根据物理方程： 4.6.4 单元刚度矩阵写成分块形式： 4.6.5 单元等效节点力 （1）对于单元的自重W，载荷列阵为 即移置于每一节点的载荷都是四分之一的自重。（2）如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，在该边界上一个节点处为零，而在另一个节点处为最大，则将总表面力的三分之一移置到前一个节点，三分之二移置到后一个节点。 4.6.6 整体平衡方程 将各单元的 、 和 都扩大到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平衡方程，它仍具有如下的形式 引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点位移，进而可求各单元应力。 4.6.7 矩形单元与三角形单元的比较： 3、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差。 2、在弹性体中,若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。 1、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。 　　有限元分析中，确定了单元的形状后，位移模式的选择非常关键的。如果所选位移模式与真实的位移分布差别大，很难获得良好的数值解。 对给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大。在给定载荷下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。 4.7 收敛准则 　　为了解答的收敛性，位移模式必须满足三个条件，即　　⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项?1、?4 就是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。三角形三节点单元位移模式中 ，与?2、?3、?5、?6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。 ⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠。 能够满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。同时满足上述三个条件，因此都属于完备的协调单元。　　在选择多项式作为单元的位移模式时，其阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即单元的完备性和协调性要求。选择多项式位移模式阶次时，需要考虑的另一个因素是，所选的模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。 如图所示的巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，那么就必须同时包含有另一边的对称项。 常数项线性项二次项三次项四次项五次项对称轴巴斯卡三角形