随机变量矢量和序列.ppt

随机矢量 设x(ξ)、y(ξ)分别是M和L维随机矢量，则这两个随机矢量的互相关矩阵为 交叉协方差矩阵 第三十页，共五十七页，2022年，8月28日 随机矢量 若x(ξ)、y(ξ) 不相关，则 若x(ξ)、y(ξ)正交，则 第三十一页，共五十七页，2022年，8月28日 随机矢量的线性变换 随机矢量x(ξ)、y(ξ) 存在如下关系 fx(x)为x(ξ)的概率密度, y(ξ) 的概率密度为 第三十二页，共五十七页，2022年，8月28日 随机矢量的线性变换 随机矢量x(ξ)、y(ξ) 的统计量关系 第三十三页，共五十七页，2022年，8月28日 正态随机矢量 x(ξ)是M维的正态随机矢量，则 正定二次型为 特征函数为 第三十四页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 y(ξ)是M个随机变量的和，即 y(ξ)的均值为 第三十五页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 应用独立性质，则y(ξ)的方差 怎么求y(ξ)的概率密度函数pdf？ 第三十六页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 先来看两个特殊的情况： 情况一： 对应的特征函数为： 第三十七页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 对应的特征函数为： 根据傅立叶卷积性质，则概率密度为 第三十八页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 对应的第二特征函数为： m阶累积量为 第三十九页，共五十七页，2022年，8月28日 独立随机变量和 例3.2.1 设xk(ξ)(k=1,2,3,4)是4个独立、具有相同分布的随机变量，在[-0.5,0.5]上均匀分布。试计算M=2,3,4时， y(ξ)的概率密度函数 第四十页，共五十七页，2022年，8月28日 随机变量矢量和序列 * 第一页，共五十七页，2022年，8月28日 主要内容 随机变量 统计值 常用分布 随机矢量 随机矢量的线性变换 正态随机矢量 独立随机变量和 离散随机过程 第二页，共五十七页，2022年，8月28日 随机变量 定义3.1 随机变量x(ξ)是一个映射，这个映射为每个来自抽象概率空间的结果ξ赋予一个实数x。该映射满足的如下条件： (1) 对于任一x，区间{x(ξ)≤x}为概率空间中的一个事件 (2) Pr{x(ξ)=∞}=0,且Pr{x(ξ)=－∞}=0 第三页，共五十七页，2022年，8月28日 随机变量 随机变量映射示意图 抽象空间S 实数空间R 随机变量x(ξ) ξ1 x(ξ1) ξ2 x(ξ2) ξ3 x(ξ3) ξ4 x(ξ4) 第四页，共五十七页，2022年，8月28日 分布密度与密度函数 分布函数(Cummulative distribution function, cdf) 概率密度函数(probability density function, pdf) 第五页，共五十七页，2022年，8月28日 分布密度与密度函数 对于离散的随机变量，采用概率质量函数(probability mass function, pmf) 概率函数满足： 第六页，共五十七页，2022年，8月28日 统计值 数学期望 数学期望具有线性特征 第七页，共五十七页，2022年，8月28日 统计值 矩(moments) 特殊情况 第八页，共五十七页，2022年，8月28日 统计值 中心矩 特殊情况 第九页，共五十七页，2022年，8月28日 统计值 方差与矩的关系:方差主要表征随机变量围绕中心值的分布（或散布）程度的度量 倾斜度(skewness)：表明随机变量与中心分布的不对称程度。向右倾斜，其值为正，向左则其值为负。 第十页，共五十七页，2022年，8月28日 统计值 峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦程度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则小于0。 第十一页，共五十七页，2022年，8月28日 均值、方差、倾斜度和峰度示意 fx1(x) μ1 fx2(x) μ2 数学期望 fx1(x) fx2(x) 方差 σ1 σ2 fx1(x) fx2(x) 倾斜度 负 正 fx1(x) fx2(x) 峰度 负 正 第十二页，共五十七页，2022年，8月28日 切比雪夫(Chebyshev)不等式 随机变量偏离其平均值k倍标准偏差的概率，小于或等于1/k2,与概率密度函数的具体形式无关： 第十三页，共五十七页，2022年，8月28日 特征函数 定义 采用s代替将上式的jξ，得到矩的生成函数 在 s=0处按泰勒级数展开，假设各阶矩存在 第十四页，共五十七页