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2022年南开大学数学伯苓班选拔考试题
本试卷共七道试题,满分100分,测试时间为9月13日14:30-16:10
1.证明:
2.设,且恒成立,求的取值范围.
3.设椭圆,上顶点为,右焦点为,右准线交轴于,且离心率,,过点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆方程与直线斜率取值范围;
(2)证明:为定值.
4. ,且,且,求的最小值。
5.1?11中取4个不同的数字,求4个数字互不相邻的概率。
6.设集合,证明:对任意,均存在构成公差不为0的等差数列.
7.若,
(1)若,证明: ;
(2)若均为绝对值小于10的整数,证明:存在使得
2022年南开大学数学伯苓班选拔考试题解答
1.解:
注意到,从而考虑顶角为的等腰三角形(黄金三角形),或者考虑
,
均不难解出,即证.
2.解:考虑分离参数,即有恒成立
从而可知。从而不难得到,从而。
3. 解:(1)椭圆方程为,斜率取值范围为
(2)以右焦点为极点,则可知椭圆的参数方程为,则可知
而如果我们作垂线,则有,从而注意到
从而结合图形不难得到两角互补,从而余弦和为0,也即和为定值。
4.解:注意到。
从而类似得到三个式子,即可得到最小值为.易见取等为全相等.
5.解:考虑7个小球,中间有8个空,插入4个隔板,则共有种,一共有种,从而概率.
6.解:我们考虑对正整数进行归纳,平凡,时考虑即可;
假设命题对时成立,即存在等差数列
从而设,则考虑数列,其中对任意有
则显然有
从而可知这是符合题意的构造。
7.解:(1)由,可知,同理,进而,即证.
(2)考虑
从而将所有的从小到大排成一列,从而注意到
则注意到
,
从而由抽屉原理不难得到存在使得
又由(1)可知等号不能成立,从而取即可.
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