Keller映射在直线上的光滑性，单项导子与高阶导子.docxVIP

Keller映射在直线上的光滑性，单项导子与高阶导子 Keller映射（Keller mapping）是一个重要的非线性动力学映射，它描述了一个离散化的非线性微分方程的动力学行为。在许多研究领域，如物理学、工程学、计算机科学等，Keller映射得到了广泛的应用。在这篇文章中，我们主要研究Keller映射在直线上的光滑性以及单项导子和高阶导子。 1. Keller映射的定义 考虑一个n维向量的离散化非线性微分方程： $$\\frac{\\Delta x_i(t+1)-\\Delta x_i(t)}{\\Delta t}=f_i(x(t))$$ 其中，$\\Delta x_i(t)=x_i(t+1)-x_i(t)$，$\\Delta t$是时间步长，$f_i(x(t))$表示系统的非线性演化函数。我们通过将时间$t$离散化，将微分方程转化为差分方程来描述系统的动力学行为。 Keller映射是从上述差分方程得到的一个非线性映射，其具体定义为： $$\\Delta x_i(t+1)=\\Delta x_i(t)+f_i(x(t))\\Delta t$$ 其中，$i=1,2,...,n$。Keller映射将系统在时间间隔$\\Delta t$内演化的微小变化$\\Delta x_i(t)$映射到下一个离散时间步长$t+1$。 值得注意的是，Keller映射是非线性的，因为$f_i(x(t))$在$x(t)$处是非线性的。 2. Keller映射的光滑性 对于Keller映射的光滑性的研究，我们首先需要定义其导数。定义Keller映射在点$x$处的一阶导数为： $$\\frac{\\partial}{\\partial\\Delta x_i}K(x)=1+\\frac{\\partial f_i}{\\partial x_1}\\Delta t$$ 其中，$i=1,2,...,n$。Keller映射的一阶导数在$x$处的值表示了映射是如何改变微小变化$\\Delta x_i$的大小和方向的。 另外，我们可以定义Keller映射在点$x$处的高阶导数，可以用链式法则来推导。例如，对于二阶导数，我们有： $$\\frac{\\partial^2}{\\partial(\\Delta x_i)^2}K(x)=\\frac{\\partial}{\\partial\\Delta x_i}\\left(1+\\frac{\\partial f_i}{\\partial x_1}\\Delta t\\right)=\\frac{\\partial^2 f_i}{\\partial x_1^2}(\\Delta t)^2$$ 其中，$\\frac{\\partial^2 f_i}{\\partial x_1^2}$是$f_i(x(t))$在$x(t)$处的二阶导数。类似地，我们可以得到更高阶导数的定义。 现在考虑Keller映射在直线上的光滑性。如果Keller映射在直线上是光滑的，那么其导数应该在直线上是连续的，即在直线上存在连续的导数。然而，Ruelle（1978）证明了，在一般情况下，Keller映射在直线上是不光滑的。 具体来说，对于变量间的某些关系，Keller映射在这些关系处是不光滑的。例如，在$n=2$的情况下，如果$f_1(x_1,x_2)=x_1^{1/3}+x_2^{1/3}$，$f_2(x_1,x_2)=-2x_1^{1/3}+x_2^{1/3}$，则Keller映射在直线$x_1=x_2$处是不光滑的。因此，在研究Keller映射在直线上的光滑性时，需要仔细地分析系统中变量之间的关系以及非线性演化函数的形式。 3. 单项导子和高阶导子 单项导子和高阶导子是研究Keller映射的重要工具。它们的定义如下： 单项导子： $$\\Lambda_{i,j}(x)=\\frac{\\partial}{\\partial\\Delta x_i}\\left(\\frac{\\partial}{\\partial x_j}K(x)\\right)$$ 其中，$i,j=1,2,...,n$。单项导子描述了一个微小变化$\\Delta x_i$在经过Keller映射后，再经过一次微小变化$\\Delta x_j$的效果。 高阶导子： $$\\Lambda_{i_1,i_2,...,i_k}(x)=\\frac{\\partial}{\\partial(\\Delta x_{i_1})}\\left(\\frac{\\partial}{\\partial(\\Delta x_{i_2})}\\left(...\\frac{\\partial}{\\partial(\\Delta x_{i_k})}\\left(\\frac{\\partial}{\