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微专题之平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中,研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
平面向量共线定理
已知,若,则三点共线;反之亦然
等和线
平面内一组基底及任一向量,,若点在直线上或者在平行于的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
当等和线恰为直线时,;
当等和线在点和直线之间时,;
当直线在点和等和线之间时,;
当等和线过点时,;
若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
【解题步骤及说明】
确定等值线为1的线;2
平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;
从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值;
说明:平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着少数服从多数的原则,优先平移固定的向量;若需要研究的两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角
为,如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动。
若,其中,则的最大值
是__________。
跟踪练习:已知为的外心,若,,则的最大值为_______
例2、在平面直角坐标系中,为坐标原点,两定点满足,则点集所表示的区域面积为__________________.
例3、如图,在扇形中,,为弧上不与重合的一个动点,
,若 存在最大值,则的取值范围为__________.
跟踪练习:在正方形中,为中点,为以为直径的半圆弧上任意一点,
设,则的最小值为_____________.
【强化训练】
1、在正六边形中,是三角形内(包括边界)的动点,设,则 的取值范围__________.
2、如图,在平行四边形中,为边的三等份点,为的交点,为边上的一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围__________.
3、设分别是的边,上的点,,,若 (为实数),则的值为_____________.
4、梯形中,,,,为三角形内一点(包括边界),,则的取值范围__________.
5、已知,,点在内,且,设,则的值为____________.
6、在正方形中,为中点,为以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值为_____________.
7、已知,为实数)。若为以为直角顶点的直角三角形,则 取值的集合为_______。
8、平面内有三个向量,其中夹角为,的夹角为,且,
,若,则的值为____________________。
9、如图,是圆上的三点,的延长线与线段的延长线交于圆外的点,若,则的取值范围为___________。
10、已知为的外心,若,,且,则=________.
11、已知是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意的正实数,的最小值为_______________.
1、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法,就是去做你害怕的事,直到你获得成功的经验。
2、忍别人所不能忍的痛,吃别人所别人所不能吃的苦,是为了收获得不到的收获。就像驴子面前吊着个萝卜就会往前走。正因为有那个目标,你才有劲儿往前走。
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