人教版数学八年级册期末压轴题培优：三角形角度问题专项训练(含答案).doc

PAGE PAGE 1 期末压轴题培优：三角形角度问题专项训练 1．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝　70　°，∠BQC＝　125　°； （2）当α＝　60　°时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°　． 解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α， ∴（∠DBC+∠BCE）＝180°， 即（180°+α）＝180°， 解得α＝60°； （3）∵α＝120°， ∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°； （4）∵α＞60°， ∠BPC＝90°﹣α、 ∠BQC＝135°﹣α、 ∠BOC＝α﹣45°． ∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°． 故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°． 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140　°； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？ （3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 解：（1）如图，连接PC， 由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°， ∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°， 故答案为：140°； （2）连接PC， 由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α， ∴∠1+∠2＝90°+∠α； （3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α， ∴∠2﹣∠1＝90°+∠α； 如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°； 如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C， ∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°． 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E得度数． （2）当点P在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示） 解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∠B+∠ACB+∠BAC＝180°． ∴∠BAC＝60°． ∵AD平分∠BAC． ∴∠DAC＝30°． ∵∠ACB＝85°，∠ACB+∠DAC+∠PDE＝180°． ∴∠PDE＝65°． 又∵PE⊥AD． ∴∠DPE＝90°． ∵∠PDE+∠DPE+∠E＝180°． ∴∠E＝25°． （2））∵∠B＝α，∠ACB＝β，∠B+∠ACB+∠BAC＝180°． ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AD平分∠BAC． ∴∠DAC＝（180°﹣α﹣β）． ∵∠ACB＝β，∠ACB+∠DAC+∠PDE＝180°． ∴∠PDE＝180°﹣β﹣（180°﹣α﹣β）＝90°． 又∵PE⊥AD． ∴∠DPE＝90°． ∵∠PDE+∠DPE+∠E＝180°． ∴∠E＝180°﹣90°﹣（90°）＝． 4．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E． （1）∠E＝　45　°； （2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条