数值计算方法课件(共218张PPT).pptxVIP

数值计算方法课件;主要内容; ;;1.1 算法 一、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划一下计算的步骤。所谓算法，就是指在求解数学问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的描述。 描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算法，就称为程序设计。;二、算法的质量标准 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比方：线性方程组，可用克莱姆法那么，高斯消元法等多种方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价一个算法的好坏有以下几个标准： 1〕 算法的计算量〔时间复杂性〕 例1：用克莱姆法那么求解一个n阶线性方程组时，需要计算〔n+1〕个n阶行列式的值。需要做 次乘法。设n=20,假设采用10亿/秒的计算机，要花费三十万年的时间进行计算。假设用高斯消元法来求解，采用一个普通的586微机，在几分钟之内就可得结果。 计算量的大小事衡量一个算法优劣的重要标准。;例2：天竺国，梵塔 据说在东方的古国──印度土地上，有一座印度教的神庙，这庙有一块黄铜板，板上插著三根细细的、镶上宝石的细针，细针像菜叶般粗，而高就像成人由手腕到肘关节的长。 　　当印度教的主神梵天在创造地球这个世界时，就在其中的一根针上从下到上放了半径由大到小的六十四片圆金片环，这就是有名的「梵塔」或称「汉内塔」〔Towers of Hanoi〕。 　　天神梵天要这庙的僧侣，把这些金片全部由一根针移到另外一根指定的针上，一次只能移一片，不管在什么情况下，金片环的大小次序不能变更，小金片环永远只能放在大金片环上面。 　　只要有一天这六十四片的金环能从指定的针上完全转移到另外指定的针上，世界末日就来到。 经过计算机的运算，移动的次数需18,446,744,073, 709,551,615，一秒移动一次，大约需要5849亿年。  ;2〕 算法的空间复杂性 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要占用许多工作单元〔内存〕。当计算一个大型的数学问题时，内???的消耗量是很大的。因此，算法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一个标准。 3〕 算法逻辑结构的复杂性 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序，但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定，因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的编制、维修和使用比较方便。 以上我们介绍了算法的一些根本概念。下面讨论数值计算中的另一个重要问题——误差。;;;3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称为舍入误差。 舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿整个课程之中。;二、 误差的概念 1〕 误差： 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误差，又称绝对误差，用e表示。;3〕有效数字 我们还可以用有效数字的概念来说明一个近似值的准确程度。 我们先介绍“四舍五入〞的概念，四舍五入是数值计算时，取近似值的一种方法。假设被舍去局部的头一位大于等于5时，就在所取数的末位加1；小于5时，就舍去。 用四舍五入方法得到的近似值，称为有效数字。 有效数字的末位到第一位非零数字的个数，称为该有效数字的位数。 有效数字可用来表示一个近似值的准确程度，一个近似值的有效位数越多，这个近似值就越逼近真值。;;例：圆周率π是一个无理数， π=3.14159265358979323…，考察以下近似值的有效位数。; 3〕 ;;;;;; ;;;;;x=1.364746094;;假设 是方程的根，那么 称为方程的不动点。;;;;;x=1;;;;;;x=1.3652300;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ; ;;;;;;;例：线性插值：;5.2线性插值 ;;;;;;;;;;;;; ;以三阶插值公式为例：;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;第125页，共218页。 第146页，共218页。 第31页，共218页。 第28页，共218页。 第132页，共218页。 第166页，共218页。 第138页，共218页。 数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。 第183页，共218页。 第29页，共218页。 我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。 第52页，共218页。 第88页，共218页。 第116页，共218页。 当印