动态规划算法.ppt

* a[i]:序列； f[i]:从第i项开始(以第i项为第1项)的最大连续子序列的和。 f[i]=max{f[i+1]+a[i],a[i]} 初始：f[n]=a[n] 目标：max{f[i]} 1=i=n -6 4 -1 3 2 -3 2 倒推法： 第九十二页，共一百六十九页，2022年，8月28日 * f[n]:=a[n]; for i:=n-1 downto 1 do f[i]:=max(a[i]+f[i+1],a[i]); ans:=f[1]; for i:=2 to n do if f[i]ans then ans:=f[i]; 第九十三页，共一百六十九页，2022年，8月28日 * ans:=0; s:=0; for i:=1 to n do begin s:=s+a[i]; if s0 then s:=0; if sans then ans:=s; end; writeln(ans); 进一步分析上面的两种求解方法，新序列要么是在现有某序列的一端添加一个元素，要么是只包含该元素。 第九十四页，共一百六十九页，2022年，8月28日 例6：勤工俭学（下午上机题目） * f[0]:=0;d[0]:=0; for i:=1 to n do begin if f[i-1]0 then begin f[i]:=f[i-1]+a[i]; d[i]:=d[i-1]+1; end else begin f[i]:=a[i]; d[i]:=1; end; end; 第九十五页，共一百六十九页，2022年，8月28日 3.最长公共子序列问题 LCS * 最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求一定连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。 其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。 第九十六页，共一百六十九页，2022年，8月28日 * 给定两个序列X = { x1 , x2 , ... , xm }Y = { y1 , y2 , ... , yn }求X和Y的一个最长公共子序列 举例X = { a , b , c , b , d , a , b }Y = { b , d , c , a , b , a }最长公共子序列为LSC = { b , c , b , a } 例7： 第九十七页，共一百六十九页，2022年，8月28日 * 要求：X和Y以字符串输入，长度=1000. 输出：最长公共子串的长度 如： 输入： abcbdabbdcaba 输出 4 LCS=bcba 第九十八页，共一百六十九页，2022年，8月28日 分析： * X=‘abcdefgh’ Y=‘acneh’ X=‘abcdefgh’ Y=‘acnehk’ X=‘abcdefgkh’ Y=‘acnehk’ X=‘abcdefgn’ Y=‘acnem’ 第九十九页，共一百六十九页，2022年，8月28日 分析： * X = { x1 , ... , xi-1 ，xi }Y = { y1 , ... , yj-1 ，yj } f[i,j]:x的前i个和y的前j个字符的最大公共子序列长度。 xi = yj 时 , f[i,j] = f[i-1,j-1] + 1xi yj时 , f[i,j] = max { f[i,j-1] , f[i-1,j] } 第一百页，共一百六十九页，2022年，8月28日 参考代码： * for i:=1 to n do //X的长度 for j:=1 to m do //Y的长度 begin f[i,j]:=0; if x[i]=y[j] then f[i,j]:=f[i-1,j-1]+1 else f[i,j]:=max(f[i-1,j],f[i,j-1]); end; 第一百零一页，共一百六十九页，2022年，8月28日 （二）坐标类模型 * 比较简单的一类动态规划问题。 常以二维空间坐标系为模板展开，因此状态转移方程也在坐标系中寻找， 一般定义f[i,j]表示状态，此状态表示某个点的坐标。 有关系的状态： f[i-1,j]， f[i,j-1]， f[i-1,j-1] 按行或列的顺序求解问题。 第一百零二页，共一百六十九页，2022年，8月28日 引例1：数字三