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第一页,共二十五页,2022年,8月28日 内容提要 什么是计算 什么是计算理论 计算理论的核心问题 计算理论的主要内容 计算理论的地位和作用 现代问题求解方法 展望 第二页,共二十五页,2022年,8月28日 什么是计算--两类典型的计算问题 从计数到计算 实物计数-屈指计数-结绳计数-刻符计数-发明数字-数制数系 算筹-运算技巧(古代中国称术)-算术(整数运算) 数值计算问题求解 计算方法 从逻辑到计算 古希腊哲学家和数学家发展逻辑学和逻辑演绎方法 十九世纪数理逻辑问世将逻辑与计算联系起来 通过计算进行逻辑演绎,通过逻辑推理实现计算-符号运算 非数值计算问题求解 组合优化方法 刘徽 祖冲之 亚里士 多德 第三页,共二十五页,2022年,8月28日 什么是计算 --不只是工匠 算法与计算 算法(Algorithm)一词来源于古阿拉伯一本数学名著的书名,指的是一种计算过程—问题的求解过程,具有如下性质: (1)通用性-适用于某类问题的求解 (2)能行性-有明确的求解步骤 (3)确定性-每个步骤都是机械的、明确的,无歧义 (4)有穷性-对某些输入在有限步内结束,并给出结果 (5)离散性-输入输出是离散的符号(数字和字母) 问题的求解是计算,求解算法中的每个步骤是计算 计算的过程是算法,算法又由计算步骤构成 计算的目的由算法实现,算法的执行由计算完成 欧几里得 第四页,共二十五页,2022年,8月28日 什么是计算 --从工匠到设计师 计算机械化与现代化 计算技术发展:个人的才智与技能-大众技能-计算工具 -自动化-现代化 早期工具:算筹-算盘-计算尺-手摇计算机(早期发报机) 现代工具:电子计算机(器)-超级计算机-网络 无处不在的计算:计算网格与云计算-物联网与普适计算 计算模型-万变不离其中 图灵机-跳不出的如来佛手心 递归函数-以有穷构造无穷的必由之路 λ演算-严格的函数运算 乔姆斯基范型-语言与文法 计算机(物化的计算模型)、算法与高级语言 第五页,共二十五页,2022年,8月28日 什么是计算理论 问题求解 问题描述 问题模型 计算模型、算法、 程序、复杂性 问题特征、分类 不可解证明 可解? 是 否 计算复杂性理论 可计算性理论 计算理论 第六页,共二十五页,2022年,8月28日 计算理论的核心问题 计算模型及其计算能力 问题是否可解-可计算性 问题是否难解-计算复杂性 相互关联 相辅相成 第七页,共二十五页,2022年,8月28日 计算理论的主要内容 丘奇-图灵论题 图灵-图灵机(TM) 丘奇-λ演算—递归函数论 算法可计算函数都是递归函数,也是图灵机可计算函数,可称为计算公理—从直观到严格的数学定义 从计算能力考查— 各计算模型是等价的 图灵机的各种变形是等价的 算法求解问题的能力与图灵机一样 单机与超级计算机等价 图灵 歌德尔 第八页,共二十五页,2022年,8月28日 可计算性理论 可判定性 可判定性的定义(图灵机) 有不可判定的问题吗? -停机问题 -怎样证明 怎样证明其他问题的不可判定性? -可归约性方法 可计算性理论的数学背景 -不可计算的根源 罗素 康托 第九页,共二十五页,2022年,8月28日 计算复杂性理论 时间复杂性及其定义 P与NP理论 -P类问题与NP类问题的定义(图灵机) NP完全理论 -NP完全问题的定义 -库克(Cook)定理及其证明(1971) -库克定理的意义、可归约性方法 空间复杂性及其定义 难解性与层次定理-问题难度的分类与层次 斯蒂芬 库克 第十页,共二十五页,2022年,8月28日 复杂性理论高级专题 近似算法 -局部搜索法 -概率算法 -现代启发式算法 -自然与演化计算方法 复杂性的应用 -密码学(难的妙用) -密钥 -公钥密码系统 -单向函数 -天窗函数 第十一页,共二十五页,2022年,8月28日 计算理论的地位和作用 计算机学科的基石 令人着迷、引人入胜的领域 受到优秀的数学家、哲学家、逻辑学家和物理学家等的青睐 起源于上世纪30年代,成型于70年代,现在依然充满活力 计算机科学领域其他学科和方向的思想源泉、理论基础和方法之本 多学科交叉的纽带,新兴学科方向的拐点 第十二页,共二十五页,2022年,8月28日 现代问题求解方法 —源于复杂性 面临困境与挑战 复杂问题求解 复
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