数学建模节水洗衣机.doc

节水洗衣机的优化设计 摘要： 简化模型，我们将洗衣过程简化为一次性溶解、多次稀释的模型。根据每轮添水量的多少，以及脱水时，污物浓度的变化来建模。分别建立:一, 溶解特性和动态方程；二，优化模型；针对不同衣物上可能存在的不同溶解物的溶解特性，定量溶解物的溶解性看做一致。当污物浓度小于某个特定的值认为洗衣过程结束，根据比较总用水量的多少，来求出运行多少轮。 设定洗衣机的最低水量，依照动态规划模型，采用固定变量的分析方法便可求得合理的循环次数，从而达到最少用水的目的。 关键词：溶解特性和动态方程；优化模型；动态规划模型；固定变量的分析方法； 1、问题的提出 我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大分量，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水非常重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水—……—加水—漂洗—脱水(称“加水—漂洗—脱水”为一轮)。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机是运行情况，对该模型和结果作出评价。 2、问题的分析 我们的目的是用最少量的水达到满意的洗衣机效果，按照传统洗衣的方法，只要加入适量碱性的洗涤剂，经漂洗后即可将衣物的污渍洗掉。 目前尚难有明显的办法来确定洗衣机固定的用水量，但从洗衣机的正常洗涤程度和节约程序表明，水、电、时间是成正比的，减少漂洗次数和时间，又要达到干净的目的，同时又节约水电，惟一的办法是从清洗前的工作及使用的洗涤剂质量及功能上入手。 洗涤剂的投放量(即洗衣机在恰当水位时水中含洗衣粉的浓度)应掌握好，这是漂洗过程的关键，也是节水、节电的关键。 3、基本假设 1) 仅考虑一次洗涤剂，以后是加清水稀释的过程。 2) 每次洗漂加水量不能低于L，否则洗衣机无法转动，加水量不能高于H，否则会溢出设LH 3) 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中，从而使每次所加的水被充分利用。 4) 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，并由于脱水时不另加水故CL 4、符号说明 1) 设共进行n轮“加水—漂洗—脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，第2轮，第n-1轮 2) 第k轮用水量为 （k=0,1,2,…n-1） 3) 衣服上的初始脏物量为，在第k轮脱水之后的脏物量为 (k=0,1,2…,n-1) 5、模型的建立与求解 1溶解特性和动态方程 在第k轮洗漂之后和脱水之前，脏物量已变成了两部分= + (k=0,1,2…,n-1)；其中表示已溶入水中的脏物量，表示尚未溶入水中的脏物量。与第k轮的加水量有关，总的规律应是：越大，越大，且当=L时最小，当=H时最大（=Q* 0Q1其中Q称为最大溶解率）因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有 =Q** （1） 在第K轮脱水之后，衣服上尚有脏物=-，有脏水C，其中脏水C中所含脏物量为(/)C，于是第k轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为： =(-)+C （2） 将（1）代入（2）式并整理后得系统动态方程 = *（1+Q *）(k=0,1,2…,n-1) （3） 2.2优化模型 由于是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而是初始脏物量，故/反映了洗净效果，由系统动态方程（2.1.4）可得： = （1+Q *） 又总用水量为： 于是可得优化模型如下： min s．t （1+Q *）≤ε 0＜ε＜1 L≤≤H (k=0,1,2…,n-1) 其中ε代表对洗净效果的要求 3分析与求解 3.1最少洗衣轮数 定义函数 1+Q * ， L≤t≤H 易知 〈0 L≤t≤H　 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以 ∈（0，1） 第K轮的洗净效果为 (k=0,1,2…,n-1) 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最好可达到： 给定洗净效果的要求ε则应有 ≤ε 于是: n≥ 若考虑Q的值不大于0.99，而C/H代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级应是很小的，所以 比如C/H小于万分之一,则(Q*C)/HC/H,1-Q≥1-0.99=这样最少洗衣轮数的估值为 n≥ 设为满足（3.1.9）的最小整数，表-3.1.1给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一的时的-Q关系 表-3.1.1 Q 0．99 0.95 0.90 0.85 0.80 0.70 0.60 0.50 ε= 2 3 4 4 5 6 8 10 ε= 2 4 4 5 6 8 10 14 数据 洗净效果要求为千分之一，即ε= 每轮用水量